[論文レビュー] On Subvarieties of Abelian Varieties with degenerate Gauss mapping

Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2011

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、アーベル多様体の部分多様体における接空間上のガウス写像と余接バンドル上のガウス写像の間に双対性を確立する。もし、余接バンドルのコノーマルバンドル $\Lambda_Y$ から双対リー代数 $T_0^*(X)$ への射影が支配的でないならば、部分多様体 $Y$ は退化的である、つまり正次元のアーベル部分多様体による平行移動に関して不変である。この結果は、D-加群理論と特徴的多様体を用いて、アブラモビッチの古典的ガウス写像に関する定理を拡張する。

ABSTRACT

We show that for an irreducible subvariety Y of an abelian variety X the Gauss mapping, from the conormal bundle of $Y$ to the dual of the tangent space of $X$ at the origin, is not dominant if and only if Y is degenerate in the sense that there exists a nontrivial abelian subvariety A of X such that A+Y=Y holds

研究の動機と目的

• アーベル多様体の部分多様体における古典的接空間ガウス写像と余接空間ガウス写像の間の双対性を確立すること。
• コノーマルバンドル上のガウス写像の非支配的性質を用いて、退化する部分多様体を特徴づけること。
• ガウス写像 $\gamma: \Lambda_Y \to T_0^*(X)$ の一般次元が $Y$ の特異点および $Y$ の perverse ユリウ・オイラー・オイラー特性にどのように関係するかを明らかにすること。
• 一般のジャコビアンのシータ divisor に対して、交差コホモロジー D-加群の特徴的多様体内に $Y$ 自身以外の特徴的部分多様体が存在するかを示すこと。

提案手法

• 与えられた非特異部分多様体 $Y \subset X$ に対して、$T^*(X) \cong X \times T_0^*(X)$ 内の非特異ラグランジュ部分多様体としてコノーマルバンドル $\Lambda_Y \subset T^*(X)$ を定義する。
• 射影 $\gamma: \Lambda_Y \to T_0^*(X)$ を研究し、その支配的性質と一般次元の有限性を分析する。
• リーマン＝ヒルベルト対応を用いて、 perverse 交差コホモロジー層 $IC_Y[d]$ を特徴的多様体 $Ch(K)$ を持つ正則 $D$-加群と関連付ける。
• D-加群理論の結果を応用し、オイラー＝ポワンカレ特性 $\chi_Y$ を特徴的多様体 $Ch(IC_Y[d])$ 内の成分 $\Lambda_{Y_\nu}$ の一般次元 $d(Y_\nu)$ の和として表現する。
• 帰納法と商写像 $q: X \to B = X/A$ を用いたファイバーごとの解析により、$\gamma$ の像を分析し、次元の仮定から矛盾を導出する。
• 一般に有限であるが、$Y$ が正次元のアーベル部分多様体による平行移動に関して不変である場合を除き、$\gamma$ は一般に有限であるという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コノーマルバンドルからのガウス写像 $\gamma: \Lambda_Y \to T_0^*(X)$ がいつ支配的でなくなるか。
• RQ2 非支配的性質である $\gamma$ が $X$ 内の $Y$ の幾何的構造にどのように関係するか。
• RQ3 特徴的多様体 $Ch(IC_Y[d])$ が $Y$ の特異点を特定する上で果たす役割は何か。
• RQ4 一般の曲線のジャコビアンのシータ divisor に対して、$Ch(IC_Y[d])$ 内に $Y$ 自身以外の特徴的部分多様体が存在するか。
• RQ5 写像 $\gamma: \Lambda_{Y_\nu} \to T_0^*(X)$ の一般次元 $d(Y_\nu)$ は、オイラー＝ポワンカレ特性 $\chi_Y$ とどのように関係するか。

主な発見

• ガウス写像 $\gamma: \Lambda_Y \to T_0^*(X)$ が支配的でないことは、$Y$ が $X$ の正次元のアーベル部分多様体による平行移動に関して不変である、すなわち退化的であることに同値である。
• この結果は、D-加群理論的手法を用いて、アブラモビッチの古典的ガウス写像 $\Gamma: S \to Gr(d, T_0(X))$ に関する定理を一般化する。
• 一般の曲線のジャコビアンのシータ divisor $Y$ に対して、$Ch(IC_Y[d])$ 内に $Y$ 自身以外の特徴的部分多様体は存在せず、したがって $\chi_Y = d(Y)$ が成り立つ。
• 部分多様体 $Y$ の交差コホモロジーのオイラー＝ポワンカレ特性 $\chi_Y$ は、特徴的多様体 $Ch(IC_Y[d])$ 内の成分 $\Lambda_{Y_\nu}$ の一般次元 $d(Y\_\nu)$ の和に等しい。
• コノーマルバンドル $\Lambda_Y$ は、$Y$ が正次元のアーベル部分多様体による平行移動に関して不変である場合を除き、$T_0^*(X)$ に支配的に写像される。これは、ファイバー次元と有限射の性質に基づく矛盾による証明によって示される。
• 証明では、商 $X \to X/A$ の構造を用い、写像 $\varphi = (q \circ p_S, T^*(i) \circ \gamma)$ を介して $\gamma$ の像を分析する。$\gamma$ が支配的でない場合、有限なファイバーが正のファイバー次元と矛盾することを示す。