[论文解读] On sums of Apéry polynomials and related congruences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文在模 $p^2$ 和 $p^5$ 下建立了阿佩尔多项式 $A_n(x)$ 及其相关多项式 $W_n(x)$ 的新同余式，将其与模形式、伯努利数与欧拉数、类数公式相联系。关键结果是：模 $p^2$ 下 $A_k(x)$ 的和与素数表示为 $x^2 + y^2$ 或 $x^2 + 2y^2$ 之间存在深刻联系，且同余式形式取决于 $p \mod 4$ 或 $p \mod 8$。这些结果推广了贝克尔斯关于 $A_{(p-1)/2} \mod p^2$ 的猜想，并证实了孙及其他人的相关猜想。

ABSTRACT

The Apéry polynomials are given by $$A_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2x^k\ \ (n=0,1,2,\ldots).$$ (Those $A_n=A_n(1)$ are Apéry numbers.) Let $p$ be an odd prime. We show that $$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k(x)\equiv\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^3}{16^k}x^k\pmod{p^2},$$ and that $$\sum_{k=0}^{p-1}A_k(x)\equiv\left(\frac xp ight)\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{4k}{k,k,k,k}}{(256x)^k}\pmod{p}$$ for any $p$-adic integer $x ot\equiv 0\pmod p$. This enables us to determine explicitly $\sum_{k=0}^{p-1}(\pm1)^kA_k$ mod $p$, and $\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k$ mod $p^2$ in the case $p\equiv 2\pmod3$. Another consequence states that $$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k(-2)\equiv\begin{cases}4x^2-2p\pmod{p^2}&\mbox{if}\ p=x^2+4y^2\ (x,y\in\mathbb Z),\\0\pmod{p^2}&\mbox{if}\ p\equiv3\pmod4.\end{cases}$$ We also prove that for any prime $p>3$ we have $$\sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)A_k\equiv p+\frac 76p^4B_{p-3}\pmod{p^5}$$ where $B_0,B_1,B_2,\ldots$ are Bernoulli numbers.

研究动机与目标

• 在模 $p^2$ 及更高幂次下建立阿佩尔多项式 $A_n(x)$ 和 $W_n(x)$ 的新同余式。
• 将这些和与素数的算术性质相联系，特别是其表示为 $x^2 + y^2$、$x^2 + 2y^2$ 和 $x^2 + 3y^2$ 的形式。
• 证实并扩展作者及其他学者关于 $\sum_{k=0}^{p-1} A_k(x) \mod p^2$ 及相关和的模 $p^2$ 行为的猜想。
• 通过 $p$-进赋值技术研究加权和 $\frac{1}{n}\sum (2k+1)(-1)^k A_k(x)$ 的整性与同余性质，并提出关于整性和同余的新猜想。
• 通过 $p$-进分析与组合恒等式，探索超几何型和、勒让德多项式与模形式之间的联系。

提出的方法

• 利用生成函数与超几何恒等式，通过戴德金 eta 函数与 $q$-级数，将 $A_k(x)$ 的和与模形式相联系。
• 应用已知的同余式 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^3}{m^k} \mod p^2$，通过多项式变换推导出 $A_k(x)$ 和 $W_k(x)$ 的新同余式。
• 使用勒让德符号与雅克比符号，根据 $p \mod 4$、$p \mod 8$ 和 $p \mod 3$ 分类情况，得出分情况讨论的结果。
• 运用 $p$-进赋值技术分析归一化和 $\frac{1}{n}\sum (2k+1)(-1)^k A_k(x)$ 的整性与同余性质。
• 应用伯努利数与欧拉数的已知结果，表达模 $p^5$ 和 $p^6$ 的高阶同余式。
• 提出并检验关于含 $A_k(x)$ 和 $D_k(x)^3$ 的和的 $p$-进赋值的猜想，基于对小 $n$ 和 $p$ 的数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $x = -2$ 或 $x = 1/4$ 时，$\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k A_k(x) \mod p^2$ 的同余式是什么？它们如何与素数表示 $p = x^2 + y^2$ 相关联？
• RQ2 和 $\sum_{k=0}^{p-1} A_k(x) \mod p^2$ 与 $\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k A_k(x) \mod p$ 如何依赖于 $p$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ 和 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 中的分裂行为？
• RQ3 $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)(-1)^k A_k(x)$ 的 $p$-进赋值是什么？它如何与 $\nu_p(n)$ 和 $\nu_p(4x-1)$ 相关联？
• RQ4 能否证明对于满足 $x \equiv -2k \mod p$ 的 $p$-进数 $x$，和 $\sum_{r=0}^{p-1} (-1)^r \binom{x}{r}^{2n+1}$ 在模 $p^2$ 下恒为零？
• RQ5 归一化和 $\frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)(-1)^k A_k(1/4)$ 的结构是什么？其分子模 12 与模 $p$ 的同余性质如何？

主要发现

• 对任意奇素数 $p$，有 $\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k A_k(-2) \equiv \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k A_k(1/4) \mod p^2$，且当 $p \equiv 1 \mod 4$ 且 $p = x^2 + y^2$（$x$ 为奇数）时，两者同余于 $4x^2 - 2p$；当 $p \equiv 3 \mod 4$ 时，同余于 $0$。
• 对 $p > 3$，有 $\sum_{k=0}^{p-1} (2k+1) A_k \equiv p + \frac{7}{6}p^4 B_{p-3} \mod p^5$，将该和与伯努利数联系起来。
• 对 $p > 3$，有 $\sum_{k=0}^{p-1} (2k+1) A_k(-1) \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) p - p^3 E_{p-3} \mod p^4$，将该和与欧拉数联系起来。
• 对任意素数 $p$，有 $\sum_{k=0}^{p-1} (2k+1) \varepsilon^k A_k^m \equiv 0 \mod p$，其中 $\varepsilon = \pm 1$ 且 $m \in \mathbb{Z}^+$，表明模 $p$ 下存在普遍的零化现象。
• 归一化和 $s(n) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)(-1)^k A_k(1/4)$ 为有理数，其分母为 $2^{2\nu_2(n!)}$，且当 $n$ 为奇数时分子 $\equiv 1 \mod 12$，当 $n$ 为偶数时分子 $\equiv 7 \mod 12$。
• 对奇素数 $p$ 及正整数 $a$，有 $s(p^a) \equiv t(p^a) \equiv 1 \mod p$，且 $s(3^a) \equiv 4 \mod 9$，$t(3^a) \equiv -8 \mod 243$。