[論文レビュー] On surfaces with $p_g=2$, $q=1$ and non-birational bicanonical map

Ciro Ciliberto, Margarida Mendes Lopes|ArXiv.org|Mar 1, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素数体 ℂ 上の一般型不規則な曲面で、p_g=2、q=1 かつ双有理でない2次標準写像をもつものについて、その曲面は常に genus 2 の曲線の線形系をもつことを証明する。コhomology的消失、準標準的線形系統、および2次標準写像の幾何学的性質を用いて、与えられた不変量のもとで、非標準的な場合が存在すると仮定すると矛盾が生じることを示し、したがってこのような曲面の分類を完全に完了する。

ABSTRACT

In the present note we show that any surface of general type with $p_g=2$,$q=1$ and non-birational bicanonical map has a pencil of curves of genus 2. Combining this result with previous ones, one obtains thatan irregular surface $S$ of general type with $χ(S)\geq 2$ and non-birational bicanonical map has a pencil of curves of genus 2.

研究の動機と目的

• χ(S) ≥ 2 かつ双有理でない2次標準写像をもつ不規則な一般型曲面の分類をすること。
• 双有理でない2次標準写像をもつ曲面の分類において、p_g=2、q=1 の非標準的ケースを除外すること。
• このような曲面が必ず genus 2 の曲線の線形系をもつことの確立すること。
• 非標準的ケースが唯一の可能性である標準的ケース（genus 2 の線形系をもつもの）であることを証明することで、分類を完成させること。

提案手法

• η ∈ Pic⁰(S) に対して、準標準的線形系統 |K + η| を固定部と可動部に分解すること。
• 消失定理とSerre双対性を適用し、1-連結な曲線 C に対して h¹(S, O_S(K + η + C)) を評価すること。
• Albanese写像とその纤维を用いて、線形束とcohomologyの曲面上の挙動を調べること。
• Pic⁰(S) によってパラメトライズされる2次元の可動曲線の系統 M を構成し、その交差性質を調べること。
• 点 x とその2次標準写像による共役点 x′ を通る M_x,x′ に属する曲線のパrameterの和を送る写像 α: S → Pic²(A') ≅ A' を定義すること。
• 2次標準写像 ι を用いて、共役な交点を分析し、重複度の上限を用いて矛盾を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般型曲面で双有理でない2次標準写像をもち、p_g=2、q=1 である非標準的ケースが存在し得るか？
• RQ2 χ(S) ≥ 2 かつ双有理でない2次標準写像をもつような曲面において、genus 2 の線形系が必須であるか？
• RQ3 cohomological消失と準標準的線形系統の構造が、曲面の幾何にどのような制約を課えるか？
• RQ4 2次標準写像は、準標準的線形系統の可動部とどのように作用するか？
• RQ5 系統 M_x,x′ のインデックスが、非標準的ケースにおいて矛盾を導くために利用可能か？

主な発見

• χ(S) ≥ 2 かつ双有理でない2次標準写像をもつ不規則な一般型曲面は、すべて genus 2 の曲線の線形系をもつ。
• 主な準標準的線形系統 |K + η| は固定部 F と可動部 |M| に分解され、|M| は Pic⁰(S) によってパラメトライズされる2次元の系統をなす。
• 一般点 x とその2次標準写像による共役点 x′ を通る曲線からなる系統 M_x,x′ のインデックスは ν = 2 である。
• M_x,x′ に属する2つの一般曲線は、2つの異なる可変点で交わる。これらの点は2次標準写像の下で共役である。
• M に属する2つの一般曲線の交点の重複度は、固定点では μ − 4、可変点では 4 であり、μ ≥ 4 が成り立つ。
• n ≥ 4 の非標準的ケースを仮定すると、複数の曲線が同じ点集合を通過することになり、交差理論の上限に反するため矛盾が生じる。