[論文レビュー] On symplectic isomorphims of the p-torsion of elliptic curves

Nuno Freitas, Alain Kraus|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、最小ウェイエルストラスモデルの標準的不変量に基づく基準を確立し、 potentially good reduction かつ非アーベル的 $p$-torsion 領域を有する $
bb{Q}_\ell$ 上の2つの楕円曲線の $p$-torsion 点間のシンプレクティックガロア加群同型が存在するかどうかを判定する。この手法は、$
bb{Q}$ 上の非同種楕円曲線間のシンプレクティック同型が存在するかというマズールの問いを解決し、シンプレクティックおよびアンチシンプレクティックの場合の明示的例を提供する。

ABSTRACT

Let $\ell$ and $p$ be distinct prime numbers with $p\geq 3$. Let $E/\mathbb{Q}_{\ell}$ and $E'/\mathbb{Q}_{\ell}$ be elliptic curves defined over $\mathbb{Q}_{\ell}$, having potentially good reduction with a defect of semi-stability of order 3. We suppose that the Galois modules $E[p]$ and $E'[p]$ of their $p$-torsion points are isomorphic, and that their field of $p$-torsion points is non-abelian over $\mathbb{Q}_{\ell}$. We establish a criterion, in terms of the standard invariants associated to minimal Weierstrass models of $E$ and $E'$, allowing to decide if there is a symplectic (i.e. compatible with the Weil pairings) Galois modules isomorphism $ \phi : E[p] o E'[p] $. Furthermore, we apply our method to provide examples answering a question raised by B. Mazur concerning the existence of such isomorphism $\phi$ between two non-isogenous elliptic curves defined over $\mathbb{Q}$. We also provide examples answering the anti-symplectic variant of the same question.

研究の動機と目的

• ガロア加群同型 $E[p] \to E'[p]$ がウェイリングペアリングと整合する、すなわちシンプレクティックであるかどうかを特定すること。
• B. マズールが提起した、$
  bb{Q}$ 上の非同種楕円曲線間のシンプレクティック同型の存在に関する問いに応えること。
• シンプレクティックでない場合（アンチシンプレクティック）の分析を拡張し、シンプレクティックおよび非シンプレクティック同型の両方の例を提供すること。
• 曲線の最小ウェイエルストラスモデルからの不変量を用いて、決定的基準を確立すること。

提案手法

• 著者らは、潜在的に良い還元かつ半安定性欠陥が3である楕円曲線の $p$-torsion 点におけるガロア作用の構造を分析する。
• 最小ウェイエルストラスモデルの $E$ および $E'$ から得られる標準的不変量（特に $j$-不変量および導出指数）を用いて基準を構成する。
• 基準は、同型 $\phi: E[p] \to E'[p]$ がウェイリングペアリングを尊重するかどうか、すなわちシンプレクティックかどうかを決定する。
• ガロア表現の可能性を制限するために、$\mathbb{Q}_\ell$ 上での $p$-torsion 領域の非アーベル性に依存する。
• ウェイエルストラスモデルの不変量を比較することで、シンプレクティック性の必要十分条件を導出する。
• 構成法を用いて、$
  bb{Q}$ 上での明示的例を生成し、非同種曲線間でこのような同型が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロア加群同型 $E[p] \to E'[p]$ がウェイリングペアリングを保存する（シンプレクティックである）のはどのような条件下か？
• RQ2 マズールの予想が示唆するように、$
  bb{Q}$ 上の非同種楕円曲線間でシンプレクティック同型が存在しうるか？
• RQ3 最小ウェイエルストラスモデルのどの不変量が $p$-torsion 加群間同型のシンプレクティック性を決定するか？
• RQ4 アンチシンプレクティック同型も非同種曲線間で存在しうるのか？ そして、それらはどのように構成できるか？
• RQ5 半安定性欠陥が3である場合、ガロア作用の構造にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 最小ウェイエルストラスモデルの不変量を用いて、ガロア加群同型 $\phi: E[p] \to E'[p]$ のシンプレクティック性を判定する基準が確立された。
• この基準は、潜在的に良い還元かつ半安定性欠陥が3である $
  bb{Q}_\ell$ 上の楕円曲線に特化して適用可能である。
• 著者らは、$
  bb{Q}$ 上の非同種楕円曲線で、$p$-torsion 加群間にシンプレクティック同型が存在する明示的例を構成し、マズールの問いに肯定的に答えている。
• アンチシンプレクティックの場合の例も提供されており、このような同型がシンプレクティックなものとは独立して存在しうることを示している。
• $\mathbb{Q}_\ell$ 上での $p$-torsion 領域の非アーベル性は、シンプレクティックと非シンプレクティックのケースを区別する上で不可欠である。
• この手法により、シンプレクティック同型の問題が標準的ウェイエルストラス不変量の比較に還元され、アルゴリズム的検証が可能になった。