[論文レビュー] On syntomic regulators I: constructions

Wiesława Nizioł|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、p進K理論から対数的シントミックコホモロジーへの対数的シントミックチャーン類を構成し、通常の交差を持つスキームへの古典的シントミックレギュレーターの拡張を実現する。加法、積、λ-作用、ギジン系列、およびエタールコホモロジーへの周期写像との整合性が確立されており、シントミックコホモロジーとp進近傍サイクルの最近の比較結果を用いている。

ABSTRACT

We show that classical Chern classes from higher ($p$-adic) $K$-theory to syntomic cohomology extend to logarithmic syntomic cohomology. These Chern classes are compatible -- in a suitable sense -- with addition, products, and $λ$-operations. They are also compatible with the canonical Gysin sequences and, via period maps, with logarithmic étale Chern classes. Moreover, they induce logarithmic crystalline Chern classes. This uses as a critical new ingredient the recent comparison of syntomic cohomology with $p$-adic nearby cycles and $p$-adic motivic cohomology.

研究の動機と目的

• 通常の交差を持つスキームの対数的設定への古典的シントミックレギュレーターの拡張を図る。
• これらのレギュレーターが加法、積、およびλ-作用と整合することを保証する。
• 除数に関連するギジン系列およびエタールコホモロジーへの周期写像との整合性を確立する。
• p^{mi}によるねじれを介して古典的クラスを補間する対数的シントミックチャーン類のバージョンを構成する。
• 今後の研究において、固有スキームから正則交差コンパクト化を持つ開スキームへの結果の拡張の基盤を築く。

提案手法

• クリスタリンコホモロジー上のフロベニウス写像とp^i倍写像の差のコーンを用いて、対数的シントミックコホモロジーを定義する。
• torsion を取り扱い、双対性を満たすために、切断されたシントミックコホモロジーおよびシントミック-エタールコホモロジーを構成する。
• シントミックコホモロジーとp進近傍サイクルの比較同型（[6]より）を、重要な技術的入力として用いる。
• p^{mi}（m ≥ N）によるスケーリングを施した古典的シントミッククラスのねじれたバージョンを用いて、対数的チャーン類を定義する。
• シントミックコホモロジーにおける射影公式およびホモトピー不変性を用いて、ギジン系列との整合性を確立する。
• フォンタイン＝メッシング周期写像とチャーン類における普遍多項式を活用し、エタールコホモロジーへの周期写像を含む図式の可換性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K理論からシントミックコホモロジーへの古典的シントミックチャーン類を、通常の交差を持つスキームの対数的設定にどのように拡張できるか？
• RQ2 これらの対数的シントミックチャーン類がギジン系列および代数的演算とどのように正確に整合するか？
• RQ3 対数的シントミックチャーン類は、周期写像を通じてエタールチャーン類とどのように関係するか？
• RQ4 新しいクラスがK理論におけるλ-作用および積と、どのような意味で整合するか？
• RQ5 シントミックコホモロジーとp進近傍サイクルの比較が、これらのクラスの構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、j ≥ 2 および m ≥ N の条件下で、$\overline{c}^\text{syn}_{ij}: K_j(U, \mathbb{Z}/p^n) \to H^{2i-j}_\text{syn}(X, \mathcal{S}'_n(i)) $ の関手的で整合性のある対数的シントミックチャーン類の族を構成する。
• これらのクラスは、古典的シントミッククラスに対して $p^{mi}$ でねじられているため、$\gamma$-フィルトレーションおよび $\lambda$-作用と整合する。
• 除数 $D$ に関連する自然なギジン系列と整合しており、$i_*$、$j^*$、および $\partial$ を含む図式によって示される。
• フォンタイン＝メッシング周期写像 $\alpha_{*,*}$ を通じて、$\overline{c}^\text{syn}_{ij}$ と $p^{(m+1)i}\overline{c}^\text{ét}_{ij}$ を含む図式は可換であり、シントミックとエタールのレギュレーターを結ぶ。
• 周期写像およびp進モチビックコホモロジーとの比較同型を通じて、対数的クリスタリンチャーン類が誘導される。
• ギジン系列との整合性は、普遍多項式 $P_i$ を用いた形式的計算と、条件 $2b-a \geq 3$ および $p^n > 2$ の下で成り立つ恒等式 $\overline{p}^{\text{syn},m}_{b,2b-a} = (1-b)\overline{c}^{\text{syn},m}_{b-1,2b-a}$ を用いて確立される。