[論文レビュー] On the 2D `viscous incompressible fluid + rigid body' system with Navier conditions and unbounded energy

Marco Bravin|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限大における流体の運動エネルギーが有界でない場合でも、2次元の粘性非圧縮性流体-剛体系に対して、ナビエ滑り境界条件のもとで、時間全域における弱解の存在を確立する。主な貢献は、一般化された弱解の枠組みと密度論法を用いたものであり、非ゼロの循環を有する無限エネルギー設定への先行研究の結果の拡張を実現する。

ABSTRACT

In this paper we consider the motion of a rigid body in a viscous incompressible fluid when some Navier slip conditions are prescribed on the body's boundary. The whole `viscous incompressible fluid + rigid body' system is assumed to occupy the full plane $\\R^{2}$. We prove the existence of global-in-time weak solutions with constant non-zero circulation at infinity.

研究の動機と目的

• 2次元流体-剛体系の弱解の定義を、運動エネルギーが有界でない場合にまで拡張すること。
• 流体速度場の無限大における可積分性の欠如、つまりエネルギーが無限大であるが速度が $1/|x|$ のオーダーで減少する状況に対処すること。
• 非ゼロの循環を有する無限大におけるナビエスリップ境界条件のもとで、時間全域における弱解の存在を証明すること。
• 先行研究（例：[13]）の証明技法を密度論法と $L^2_{\text{loc}}$ におけるコンパクトネスを用いて修正・強化すること。
• キルヒホフポテンシャルとエネルギー推定を用いて、剛体の並進および回転速度の正則性を向上させること。

提案手法

• ボディフレームにおける流体-剛体系を、境界上でのナビエスリップ条件 $ u \cdot n = (\ell + r x^\perp) \cdot n $ および $ (D(u)n) \cdot \tau = -\alpha (u - \ell - r x^\perp) \cdot \tau $ を用いて定式化する。
• 初期データを $ u_0 = \tilde{u}_0 + \beta H_{\mathcal{S}_0} $ と定義し、$ H_{\mathcal{S}_0} $ は単位循環を有する調和ベクトル場であり、$ \tilde{u}_0 \in L^2_{\sigma}(\mathcal{F}_0) $ である。
• 領域を $ B_R(0) \supset \mathcal{S}_0 $ に制限する切断法を用い、切断問題を解き、$ R \to \infty $ の極限に移行する。
• アウビン＝リオンズの補題を適用し、$ \tilde{u}_{k,R_k} $ が $ L^2(0,T; L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}^2)) $ で相対的コンパクトであることを証明し、非線形項の収束を可能にする。
• $ \tilde{u}_{k,R_k} $ に対する $ L^\infty(0,T; L^2) \cap L^2(0,T; \underline{\mathcal{V}}) $ および $ \partial_t \tilde{u}_{k,R_k} $ に対する $ L^2(0,T; \mathcal{V}^\prime) $ における一様なバウンドを確立し、コンパクトネスを保証する。
• キルヒホフポテンシャル $ \Phi_i $ を用いて剛体方程式を再表現し、追加質量行列 $ \mathcal{M} $ の正定値性により $ (\ell, r) \in H^1(0,T; \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}) $ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ境界条件のもとで、流体エネルギーが無限大において有界でない2次元流体-剛体系に対して、時間全域における弱解が存在しうるか？
• RQ2 非ゼロの循環を有する無限エネルギー初期データを扱えるように、弱解の定義をどのように拡張できるか？
• RQ3 エネルギーが一様に有界でない場合、非線形項の極限に移行するための十分なコンパクトネス技法は何か？
• RQ4 無限大における非ゼロの循環が、解の長期間挙動および正則性に与える影響は何か？
• RQ5 有限エネルギー設定における証明戦略を、密度および切断論法を用いて無限エネルギー設定に適応できるか？

主な発見

• ナビエスリップ条件および無限大における運動エネルギーが有界でない2次元流体-剛体系に対して、時間全域における弱解が存在する。
• 初期速度場は、有限エネルギー部と、$ 1/|x| $ のオーダーで減少し、一定の循環を有する調和場 $ H_{\mathcal{S}_0} $ に分解される。
• 非線形項は、$ \tilde{u}_{k,R_k} $ が $ L^2(0,T; L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}^2)) $ で相対的コンパクトであるため、極限で収束する。これはアウビン＝リオンズの補題によって確立される。
• 剛体速度 $ \ell $ および $ r $ は $ H^1(0,T; \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}) $ に属することが示され、$ L^2 $ を超える正則性が得られる。
• 追加質量行列 $ \mathcal{M} $ は対称的かつ正定値であり、剛体運動方程式の適切な定式化を保証する。
• 証明は、定理2の密度論法（補題2）に依拠しており、これにより存在結果の有効性が強化され、[13] などの先行研究におけるギャップが是正される。