[論文レビュー] On the $3$-colorable subgroup $\mathcal{F}$ and maximal subgroups of Thompson's group $F$

Valeriano Aiello, Tatiana Nagnibeda|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2021

Advanced Topology and Set Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、トマソン群 F の 3 色可能部分群 𝔽 を調査し、それに関連する準正則表現が無限大であることを証明する。さらに、F の特定の単射自己準同型の下での 𝔽 の逆像が、従来のもの（例えば、放物型部分群、向き付けられた部分群 ⃗F、Golan の部分群など）とは異なる、3 つの新しい明示的な無限大指数の極大部分群に含まれることを示し、F in F における無限大指数極大部分群の既知の地図を拡張する。

ABSTRACT

In his work on representations of Thompson's group $F$, Vaughan Jones defined and studied the $3$-\emph{colorable subgroup} $\mathcal{F}$ of $F$. Later, Ren showed that it is isomorphic with the Brown-Thompson group $F_4$. In this paper we continue with the study of the $3$-colorable subgroup and prove that the quasi-regular representation of $F$ associated with the $3$-colorable subgroup is irreducible. We show moreover that the preimage of $\mathcal{F}$ under a certain injective endomorphism of $F$ is contained in three (explicit) maximal subgroups of $F$ of infinite index. These subgroups are different from the previously known infinite index maximal subgroups of $F$, namely the parabolic subgroups that fix a point in $(0,1)$, (up to isomorphism) the Jones' oriented subgroup $\vec{F}$, and the explicit examples found by Golan.

研究の動機と目的

• ヴァン・ジョーンズが、量子 SO(3) 平面代数から生じるユニタリ表現における真空ベクトルの安定化部分群として導入した、トマソン群 F の 3 色可能部分群 𝔽 を研究すること。
• F に関連する 𝔽 における準正則表現の構造、特にその無限大を調査すること。
• 従来の例（放物型部分群、向き付けられた部分群 ⃗F、Golan の部分群など）とは異なる、無限大指数の新しい極大部分群を同定・特徴付けること。
• F の特定の単射自己準同型 θ による 𝔽 の逆像を分析し、それが極大部分群に含まれることを特定すること。

提案手法

• 関連グラフの彩色多項式を用いた平面代数の構成と、3 色可能部分群 𝔽 の定義・特徴付け。
• 木の置換を用いた、Fk → F への単射準同型 αT の Ren の構成の適用（3 色可能部分群に対して k=3）。
• 𝔽 に関連する準正則表現の使用と、木の対に関する群論的および組合せ論的議論によるその無限大の証明。
• F における自己準同型 θ による 𝔽 の像の分析を、F+ ∩ K(2,2) 内の正規形計算とブロック構造を用いて行う。
• F の生成元 g に対して θ(g) を明示的に計算し、M0, M1, M2 および β⁻¹(⃗F) に属さないことを示す。
• K(2,2) をスーパー群として用い、F と F+ ∩ K(2,2) 内の正の元によって生成される任意の部分群が、M0, M1, または K(2,2) であることを示し、ブロック構造と共役変換技術を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F に関連する 3 色可能部分群 𝔽 に対する準正則表現は無限大か？
• RQ2 単射自己準同型 θ による 𝔽 の逆像を含む、M0, M1, M2 は F において極大かつ無限大指数か？
• RQ3 M0, M1, M2 は、放物型部分群 Stab(t)、向き付けられた部分群 ⃗F、Golan の部分群 K1, K2, K3 など、従来の無限大指数極大部分群と同型か？
• RQ4 θ による 𝔽 の逆像は、Stab(t)（t ∈ (0,1)）や β⁻¹(⃗F) に属さないか？
• RQ5 K(2,2) の任意の部分群で F を含み、F と F+ ∩ K(2,2) 内の正の元によって生成されるものについて、M0, M1, または K(2,2) に等しいことが示せるか？これは、M0, M1, M2 が F と K(2,2) の間で唯一のこのような部分群である可能性を示唆する。

主な発見

• F に関連する 3 色可能部分群 𝔽 に対する準正則表現は無限大である。
• 単射自己準同型 θ による 𝔽 の逆像は、F の3つの異なる極大部分群 M0, M1, M2 に含まれる。これらはすべて無限大指数である。
• これらの部分群 M0, M1, M2 は、放物型部分群 Stab(t)、向き付けられた部分群 ⃗F、Golan の部分群 K1, K2, K3 など、従来の無限大指数極大部分群と同型でない。
• 明示的な計算により、θ(x2), θ(σ(x2)), および θ(x0x1x⁻¹₂) がそれぞれ M1, M2, M0 に属さないことが示され、θ⁻¹(M1), θ⁻¹(M2), θ⁻¹(M0) が任意の Stab(t) や β⁻¹(⃗F) と等しくないことが証明される。
• K(2,2) の任意の部分群で F を含み、F と F+ ∩ K(2,2) 内の正の元によって生成されるものについて、M0, M1, または K(2,2) に等しいことが示され、M0, M1, M2 が F と K(2,2) の間で唯一のこのような部分群である可能性を示唆する。