[論文レビュー] On the 6d Origin of Non-invertible Symmetries in 4d

Vladimir Bashmakov, Michele Del Zotto+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、6次元 $(2,0)$ 理論をリーマン面に compactify することにより、4次元 $υ=2$ 超 conformal field 理論における非可逆的対称性の6次元的起源を確立する。モジュライ空間上の写像類群作用の安定化部分群が、0次元対称性を生成し、1次元対称性と混合異常を示すことが示され、Kramers-Wannier型の非可逆的デフェクトが生じる。主な貢献は、クラス $χ$ における幾何的構造に由来する、任意の素数 $p$ と $k \geq 1$ に対して $p^k$-ality デフェクトを持つ無限族の4次元的理論の構成である。

ABSTRACT

It is well-known that six-dimensional superconformal field theories can be exploited to unravel interesting features of lower-dimensional theories obtained via compactifications. In this short note we discuss a new application of 6d (2,0) theories in constructing 4d theories with Kramers-Wannier-like non-invertible symmetries. Our methods allow to recover previously known results, as well as to exhibit infinitely many new examples of four dimensional theories with "M-ality" defects (arising from operations of order $M$ generalizing dualities). In particular, we obtain examples of order $M=p^k$, where $p>1$ is a prime number and $k$ is a positive integer.

研究の動機と目的

• 6次元 $(2,0)$ 超 conformal field 理論を用いて、4次元量子場理論における非可逆的対称性の幾何的起源を特定すること。
• リーマン面上へのクラス $\mathcal{S}$ 理論の compactification に起因する0次元対称性と1次元対称性の間の混合異常がどのように生じるかを説明すること。
• 6次元の compactification を用いて、任意の素数 $p$ と $k \geq 1$ に対して、$M = p^k$ の位数の非可逆的対称性を持つ無限に多くの4次元的理論を構成すること。
• 6次元の分割ベクトルと写像類群の固定点から、4次元理論のグローバル構造と異常を体系的に読み取る方法を提供すること。
• 高次元の SCFT を用いた4次元理論におけるカテゴリカル対称性の広範な分類の基盤を築くこと。

提案手法

• 6次元 $(2,0)$ 理論（$A_{n-1}$ 型）を genus-$g$ のリーマン面 $\Sigma_g$ に compactify することにより、クラス $\mathcal{S}$ の4次元 $\mathcal{N}=2$ SCFT を構成する。
• 0次元対称性を、$\Sigma_g$ の複素構造モジュライ空間上での写像類群作用の安定化部分群として同定する。これは特別な点における高次元グローバル対称性に対応する。
• 6次元のデフェクト群と4次元理論のグローバル構造の相互作用を分析することで、0次元対称性と1次元対称性の間の混合異常を検出する。
• Tachikawa の手法を適用し、6次元の分割ベクトルとモノドロミー作用からクラス $\mathcal{S}$ 理論のグローバル構造を読み取る。
• 混合異常を伴う1次元対称性のゲージ化を通じて、[61] の枠組みに従い、非可逆的 codimension-one デフェクトを構成する。
• リーマン面に $\mathbb{Z}_{4g+2}$ 等長性を持つものを用いることで、$p=2$、$k\geq1$ の $p^k$-ality デフェクトの例を生成し、適切な面の分岐を用いて他の素数へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元 $(2,0)$ SCFT は、4次元 $\mathcal{N}=2$ 理論における非可逆的対称性をどのように生成するか？
• RQ2 クラス $\mathcal{S}$ の compactification における0次元対称性と1次元対称性の混合異常は、幾何的にどのように起源をもつのか？
• RQ3 6次元の枠組みは、素数 $p$ に対して $M = p^k$ の位数の非可逆的対称性を持つ無限族の4次元的理論を生成できるか？
• RQ4 リーマン面上の写像類群の固定点は、混合異常構造を持つ強化された0次元対称性をどのように導くか？
• RQ5 リーマン面の外部自己同型は、ゲージ化を通じて非可逆的2次元対称性を生成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、6次元 $(2,0)$ 理論を genus-$g$ リーマン面に compactify することにより、非可逆的対称性の位数が $M = p^k$（$p > 1$ は素数、$k$ は正の整数）である無限族の4次元 $\mathcal{N}=2$ SCFT を構成する。
• 非可逆的 codimension-one デフェクトは、0次元対称性と1次元対称性の間の混合異常から生じる。ここで0次元対称性は、$\Sigma_g$ のモジュライ空間上での写像類群作用の安定化部分群として実現される。
• $SO(3)_{-}$ 理論において $\tau = i$ のときの $\mathbb{Z}_2^{(0)} \times \mathbb{Z}_2^{(1)}$ 混合異常は、6次元の compactification から回復され、既知の結果と整合することが確認された。
• リーマン面に $\mathbb{Z}_{4g+2}$ 等長性を持つもの（$g$ は整数）を用いることで、$p=2$ の $p^k$-ality デフェクトが得られ、$2^k$ の位数の非可逆的対称性の明示的例が得られる。
• 高 genus および他の素数へは、ハンドルに巡回的 $\mathbb{Z}_g$ 動作をもつ適切な面の分岐を考察することで一般化され、外部自己同型のゲージ化を通じて非可逆的2次元対称性が得られる。
• 本フレームワークは、4次元における非可逆的対称性の幾何的かつ体系的な起源を提供し、異常に基づくおよび双対性に基づく従来の結果を統合・拡張する。