[論文レビュー] On the Accuracy of the Non-Classical Transport Equation in 1-D Random Periodic Media

Richard Vasques, Kai Krycki|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、空間相関により非指数分布に従う粒子衝突距離を示す1次元ランダム周期的媒体における非古典的輸送方程式の最初の数値的妥当性検証を提示する。解析的にパス長分布関数 $ p(s) $ を導出し、対応する $ \Sigma_t(s) $ を計算し、非古典的輸送方程式を解くことで、特に低散乱領域および源近傍で、アンサンブル平均スカラーfluxの予測においてアトムミックスモデルを上回る高い精度を示した。

ABSTRACT

We present a first numerical investigation of the accuracy of the recently proposed {\em non-classical transport equation}. This equation contains an extra independent variable (the path-length $s$), and models particle transport taking place in random media in which a particle's distance-to-collision is {\em not} exponentially distributed. To solve the non-classical equation, one needs to know the $s$-dependent ensemble-averaged total cross section $Σ_t(s)$, or its corresponding path-length distribution function $p(s)$. We consider a 1-D spatially periodic system consisting of alternating solid and void layers, randomly placed in the infinite line. In this preliminary work, we assume transport in rod geometry: particles can move only in the directions $μ=\pm 1$. We obtain an analytical expression for $p(s)$, and use this result to compute the corresponding $Σ_t(s)$. Then, we proceed to solve the non-classical equation for different test problems. To assess the accuracy of these solutions, we produce "benchmark" results obtained by (i) generating a large number of physical realizations of the system, (ii) numerically solving the transport equation in each realization, and (iii) ensemble-averaging the solutions over all physical realizations. We show that the results obtained with the non-classical equation accurately model the ensemble-averaged scalar flux in this 1-D random system, generally outperforming the widely-used atomic mix model. We conclude by discussing plans to extend the present work to slab geometry, as well as to more general random mixtures.

研究の動機と目的

• 空間的に相関する散乱中心を有する1次元ランダム周期的媒体を通過する粒子輸送をモデル化する非古典的輸送方程式の精度を評価すること。
• 交互に配置された固体層と空隙層からなる1次元系におけるパス長分布関数 $ p(s) $ の解析的表現を導出すること。
• 導出した $ \Sigma_t(s) $ を用いて非古典的輸送方程式を数値的に解き、多数の物理的実現のアンサンブル平均によるベンチマーク結果と比較すること。
• アンサンブル平均スカラーfluxの予測において、広く用いられるアトムミックスモデルと比較して非古典的モデルの性能を評価すること。
• 今後のスラブ幾何やより一般的なランダム媒体への拡張の基盤を確立すること。

提案手法

• 無限直線上にランダムに配置された交互な固体層と空隙層からなる1次元空間的周期的系をモデル化する。
• ロッド幾何を仮定し、粒子が $ \mu = \pm 1 $ の方向にのみ移動するとし、角度依存性を単純化する。
• 再生理論および再生報酬定理を用いて、解析的にパス長分布関数 $ p(s) $ を導出する。
• 恒等式 $ \Sigma_t(s) = p(s) / \left(1 - \int_0^s p(s') ds' \right) $ を用いて、$ s $ に依存する全断面積 $ \Sigma_t(s) $ を計算する。
• 有限体積法とHLLリーマンソルバを用いて、非古典的輸送方程式を数値的に解く。
• 多数の物理的実現をシミュレートし、それぞれで古典的輸送方程式を解き、スカラーfluxをアンサンブル平均することでベンチマーク解を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に相関する散乱を有する1次元ランダム周期的媒体において、非古典的輸送方程式はアンサンブル平均スカラーfluxを正確に予測できるか？
• RQ2 散乱比や源配置が異なる条件下で、非古典的モデルの精度はアトムミックスモデルと比べてどのように異なるか？
• RQ3 非古典的モデルは、アトムミックスモデルと比較して、源に近い領域におけるスカラーfluxの振動的構造をよりよく保持するか？
• RQ4 数値的拡산が、非古典的モデルとアトムミックスモデルの相対的性能に与える影響は何か？
• RQ5 $ p(s) $ の解析的導出は、より複雑な非周期的ランダム媒体へと拡張可能か？

主な発見

• 非古典的輸送方程式は、1次元ランダム周期的媒体におけるアンサンブル平均スカラーfluxを正確にモデル化でき、物理的実現のアンサンブル平均によるベンチマーク結果と密接に一致した。
• 低散乱比（例：$ c = 0.1 $）の条件下では、非古典的モデルがアトムミックスモデルを上回り、特に源近傍での最大fluxを捉える能力および解の振動的形状の保持において優れた性能を示した。
• 図4に示すように、$ c = 0.1 $ の問題セットAにおいて、非古典的モデルはアトムミックスモデルと比較して相対誤差を最大10%まで低減した。
• アトムミックスモデルは散乱比 $ c $ の増加に伴い精度が向上するが、非古典的モデルの精度は同様の条件下でわずかに低下する傾向にあり、HLLスキームに起因する数値的拡散の影響が考えられる。
• 源から離れた領域においても、特に低散乱条件下で、非古典的モデルはベンチマーク結果とより良好な定性的一致を示した。
• これらの結果は、非古典的輸送の理論的枠組みの妥当性を裏付け、固有値および固有関数推定の精度が求められる臨界計算への応用を支持する。