[論文レビュー] On the Amount of Dependence in the Prime Factorization of a Uniform Random Integer

Richard Arratia|arXiv (Cornell University)|May 4, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 24被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、n 未満の均一にランダムな整数の素因数分解における従属構造を調査し、実際に素因数分解を独立モデル（幾何分布に従う指数部）に変換するのに、平均で 2 + o(1) 個の挿入・削除（indels）で十分であることを示している。主な結果として、実際の因数分解とポアソン＝ディリクレ過程との間のワッサーシュタイン距離が O(log log n) であることを確立し、スケール不変ポアソン過程を用いた構成的カップリングにより、収束のメトリクス的制御が可能である。

ABSTRACT

How much dependence is there in the prime factorization of a random integer distributed uniformly from 1 to n? How much dependence is there in the decomposition into cycles of a random permutation of n points? What is the relation between the Poisson-Dirichlet process and the scale invariant Poisson process? These three questions have essentially the same answers, with respect to total variation distance, considering only small components, and with respect to a Wasserstein distance, considering all components. The Wasserstein distance is the expected number of changes -- insertions and deletions -- needed to change the dependent system into an independent system. In particular we show that for primes, roughly speaking, 2+o(1) changes are necessary and sufficient to convert a uniformly distributed random integer from 1 to n into a random integer prod_{p leq n} p^{Z_p} in which the multiplicity Z_p of the factor p is geometrically distributed, with all Z_p independent. The changes are, with probability tending to 1, one deletion, together with a random number of insertions, having expectation 1+o(1). The crucial tool for showing that 2+epsilon suffices is a coupling of the infinite independent model of prime multiplicities, with the scale invariant Poisson process on (0,infty). A corollary of this construction is the first metric bound on the distance to the Poisson-Dirichlet in Billingsley's 1972 weak convergence result. Our bound takes the form: there are couplings in which E sum |log P_i(n) - (log n) V_i | = O(\log \log n), where P_i denotes the i-th largest prime factor and V_i denotes the i-th component of the Poisson-Dirichlet process. It is reasonable to conjecture that O(1) is achievable.

研究の動機と目的

• 1 から n の均一にランダムな整数の素因数分解における統計的従属の程度を定量化すること。
• 正規化された素因数分解がポアソン＝ディリクレ過程に収束する際のメトリクス的バウンドを確立すること。
• 素因数分解の構造とランダム順列の間の従属構造が、統計的に同等であることを示すこと。
• スケール不変ポアソン過程を用いて、従属的な素因数分解と独立モデル（幾何分布に従う乗数）との間のカップリングを構築すること。
• ビリングスリーの 1972 年の弱収束結果に対する、初めての明示的メトリクス的バウンドを提供すること。

提案手法

• 従属系を独立系に変換するために必要な挿入・削除（indels）の期待値として定義されるワッサーシュタイン距離メトリクスを用いる。
• 有限のランダム整数モデルと、素因数の指数が幾何分布に従う無限の独立モデルとの間のカップリング技術を採用する。
• 対数的間隔の近似として、(0, ∞) 上のスケール不変ポアソン過程を極限近似として適用する。
• サイズバイアス順列とポアソン過程カップリングを活用し、素因数の同時分布を近似する際の誤差を制御する。
• スケール不変間隔補題と指数的尾部バウンドを用いて、カップリングを乱す可能性のあるレアイベントを制御する。
• カップリングにおける証拠条件の緩和を適用し、期待される悪影響イベント数をバウンドすることで、カップリング確率の誤差を O(1/log n) に抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1 から n の均一にランダムな整数の素因数分解には、どの程度の従属が存在するか？
• RQ2 素因数分解を独立化するために必要な最小の挿入・削除数は何か？
• RQ3 素因数分解の文脈において、ポアソン＝ディリクレ過程とスケール不変ポアソン過程の関係は何か？
• RQ4 従属的な素因数分解と、指数が幾何分布に従う独立モデルとの間で、構成的カップリングを構築できるか？
• RQ5 正規化された素因数分解がポアソン＝ディリクレ過程に収束する定量的レートは何か？

主な発見

• 素因数分解を独立化するために必要な挿入・削除の期待値は 2 + o(1) であり、平均で 1 回の削除と 1 + o(1) 回の挿入が要する。
• 実際の素因数分解と独立幾何モデルとの間のワッサーシュタイン距離は O(log log n) であり、ビリングスリーの 1972 年の収束結果に対する初めてのメトリクス的バウンドを提供する。
• 有限のランダム整数と無限の独立モデルとのカップリングは、誤差確率 O(1/log n) を達成し、期待される悪影響イベント数は O(1/log n) でバウンドされる。
• 本手法により、対数の i 番目に大きな素因数とポアソン＝ディリクレ過程の i 番目の成分との絶対差の期待和が O(log log n) でバウンドされるカップリングが構築される。
• 本稿では、十分に大きな n に対して 2 + ε 個の indels で十分であることを証明し、O(1) 個の indels が達成可能である可能性についても仮説を立てる。
• 解析はランダム順列へと拡張され、類似したカップリング技術により、同一の従属構造と同一のメトリクス的バウンドが示される。