[논문 리뷰] On the amplitude of External Perturbation and the Chaos via Devil's Staircase -Stability of Attractors -

Sadataka Furui, Tomoyuki Takano|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 10.

Chaos control and synchronization참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 메모리스터가 내장된 추상화된 추상 회로에서 외부 정현파 교란이 혼돈에 미치는 영향을 조사하며, 주파수 잠금 창문의 페어리 수열을 통한 디아블의 계단 길을 통해 혼돈으로의 전이를 입증한다. C=1.0일 때 안정적이고 숨겨진 애트랙터를 확인하고, C=1.2일 때는 교란된 동역학을 관찰하며, 주파수 잠금 반응이 전자기장 대칭성과 공진에서 옥토니온 구조와 연결됨을 규명한다.

ABSTRACT

We made the chaotic circuit proposed by Chua and the memristic circuit proposed by Muthuswamy and Chua, and analyzed the behavior of the voltage of the capacitor, electric current in the inductor and the voltage of the memristor by adding an external sinusoidal oscillation ${\dot y}(t)\simeq {\dot i_L}(t)$ of a type $γω\cosωt$, while the ${\dot x}(t)\simeq {\dot v_C}(t)$ is given by $y(t)/C$, and studied the Devil's staircase route to chaos. We compared the frequency of the driving oscillation $f_s$ and the frequency of the response $f_d$ in the window and assigned $W=f_s/f_d$ to each window. When capacitor $C=1.0$, we observe stable attractors of Farey sequences $\displaystyle W=\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}, \cdots ,\frac{14}{15},\frac{1}{1}\}$, which can be interpreted as hidden attractors, while when $C=1.2$, we observe unstable attractors. Possible role of octonions in quantum mechanics and Cartan's supersymmetry is discussed.

연구 동기 및 목표

• 메모리스터가 내장된 추상화된 추상 회로에서 외부 정현파 교란이 혼돈 동역학에 미치는 영향을 조사한다.
• 구동된 시스템에서 디아블의 계단 행동을 통한 주파수 잠금 창문의 발생을 분석한다.
• 전자기장 대칭성에 기반한 옥토니온의 역할이 혼돈 애트랙터의 안정성 또는 불안정성에 어떻게 기여하는지 탐구한다.
• 다양한 교란 진폭에서 이상한 비혼돈 애트랙터(SNAs)와 혼돈 애트랙터를 구분한다.
• 용량 C와 구동 주파수 비율 W = fs/fd에 따른 애트랙터의 안정성 분석.

제안 방법

• 용량 C=1.0과 C=1.2를 가진 추상화된 추상 회로 기반 혼돈 동역학 시스템을 구성하였다.
• inductor 전류 iL(t)에 외부 정현파 전류 교란 γωcos(ωt)를 적용하여 구동력으로 모델링하였다.
• 마이크로소프트 수학 소프트웨어에서 미세한 메쉬 포인트를 사용해 커패시터 전압 vC1, vC2 및 인덕터 전류 iL의 수치적 통합을 수행하였다.
• 주기적 창문을 식별하기 위해 비율 W = fs/fd (소스 주파수 / 반응 주파수)를 정의하였다.
• 위상 공간에서 애트랙터의 구조를 분석하기 위해 조건 Mod[ωt, 2π] = 0을 만족하는 Poincaré 맵을 사용하였다.
• 옥토니온 대수학(O = H + lH)을 활용하여 공진과 안정성 분석을 수행하였으며, 이를 스핀터 이론과 전자기장에서의 G2 군 대칭성과 연결하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 정현파 교란의 진폭은 메모리스터가 내장된 추상화된 추상 회로에서 혼돈으로의 전이에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 비율 W = fs/fd는 디아블의 계단 구조에서 주기적 창문을 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 왜 C=1.0일 때 안정적 애트랙터가 페어리 수열 창문 W = {1/2, 2/3, 3/4, ..., 14/15, 1/1} 형태로 나타나며, C=1.2일 때는 어떻게 다를까?
• RQ4 옥토니온 구조는 구동된 메모리스터 시스템에서 혼돈 애트랙터의 공진과 안정성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이상한 비혼돈 애트랙터(SNAs)와 혼돈 애트랙터는 리아프노프 지수와 교란 진폭에 대한 반응 측면에서 어떻게 다를까?

주요 결과

• C=1.0일 때, 시스템은 페어리 수열 창문 W = {1/2, 2/3, 3/4, ..., 14/15, 1/1}에 해당하는 안정적이고 숨겨진 애트랙터를 나타내며, 이는 디아블의 계단을 통한 주기 증가 행동을 의미한다.
• C=1.2일 때, 애트랙터는 교란되어 용량 변화와 교란 간의 상호작용으로 인해 안정성이 상실됨을 나타낸다.
• W=1일 때, 구동 주파수 ω는 W=6/7의 주파수의 약 8배에 가까운데, 이는 옥토니온 구조와 연결된 공진 패tern을 시사한다.
• 메모리스터 전류의 Poincaré 맵은 특정 주파수 영역에서 복잡한 구조를 보이며, 비정상적인 동역학적 조직을 나타낸다.
• 교란 진폭이 작을 경우 비혼돈 이상한 애트랙터(SNAs)가 관찰되나, 진폭이 증가함에 따라 혼돈 애트랙터로 전이된다.
• 옥토니온 기저(O = H + lH)는 전자기장 대칭성과 공진 일치를 이해하는 데 기초가 되며, 특히 주파수 잠금 영역에서 중요한 역할을 한다.