[論文レビュー] On the Approximation of Submodular Functions

Nikhil R. Devanur, Shaddin Dughmi+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、有向／無向グラフカット、カバレッジ関数、およびバジェット付き加法的関数といったより単純なクラスによる、複雑なサブモジュラ関数の近似を調査し、近似要因に関するタイトな境界を提示する。一般のサブモジュラ関数は有向グラフカットによって $ n^2/4 $ の要因内で近似可能であり、これはタイトである。対称サブモジュラ関数は無向グラフカットによって $ n-1 $ の要因内で近似可能であり、これは定数因子を除いてタイトである。バジェット付き加法的関数はカバレッジ関数によって $ e/(e-1) $ の要因内で近似可能であり、これもタイトである。

ABSTRACT

Submodular functions are a fundamental object of study in combinatorial optimization, economics, machine learning, etc. and exhibit a rich combinatorial structure. Many subclasses of submodular functions have also been well studied and these subclasses widely vary in their complexity. Our motivation is to understand the relative complexity of these classes of functions. Towards this, we consider the question of how well can one class of submodular functions be approximated by another (simpler) class of submodular functions. Such approximations naturally allow algorithms designed for the simpler class to be applied to the bigger class of functions. We prove both upper and lower bounds on such approximations. Our main results are: 1. General submodular functions can be approximated by cut functions of directed graphs to a factor of $n^2/4$, which is tight. 2. General symmetric submodular functions$^{1}$ can be approximated by cut functions of undirected graphs to a factor of $n-1$, which is tight up to a constant. 3. Budgeted additive functions can be approximated by coverage functions to a factor of $e/(e-1)$, which is tight. Here $n$ is the size of the ground set on which the submodular function is defined. We also observe that prior works imply that monotone submodular functions can be approximated by coverage functions with a factor between $O(\sqrt{n} \log n)$ and $Ω(n^{1/3} /\log^2 n) $.

研究の動機と目的

• より単純なクラスによる近似の程度を分析することで、サブモジュラ関数の部分クラスの相対的な複雑さを理解すること。
• グラフカット関数やカバレッジ関数といった標準的かつ取り扱いやすい部分クラスを用いて、一般のサブモジュラ関数を近似するためのフレームワークを構築すること。
• 主要な関数クラスにおける近似要因のタイトな上限および下限を確立し、より広範なアルゴリズム的適用を可能にすること。
• より単純なクラスによる近似が最適化問題における近似保証を保持することを示し、単純なクラス向けに設計されたアルゴリズムをより広い関数クラスに適用可能にする。

提案手法

• すべての $ S \subseteq U $ に対して $ f(S) \leq g(S) \leq \theta \cdot f(S) $ を満たすような $ g \in \mathcal{G} $ が存在する最小の $ \theta $ を求める問題として近似問題を定式化する。
• 線形計画法の双対性を用いて近似要因の下界を導出する。特に、対称サブモジュラ関数に対しては双対問題を対称化することで分析を行う。
• 明示的な双対解を構築して下界を証明する。特に、バジェット付き加法的関数からカバレッジ関数への近似において、$ k \to \infty $ のとき $ 1 - 1/e $ に近づく限界を示す。
• 各クラスに対して上界と下界を一致させることで、境界のタイトさを証明する。組合せ的議論および二項係数の分析を含む。
• 先行研究の既知の結果を活用して部分的な境界を確立する。例えば、モノトーンサブモジュラ関数をカバレッジ関数で近似する場合、$ O(\sqrt{n}\log n) $ と $ \Omega(n^{1/3}/\log^2 n) $ の間の境界が得られる。
• グラフカットからの下界をハイパーグラフカットへ拡張し、$ r $-正則ハイパーグラフでは、$ O(n/r) $ よりも良い近似は不可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のサブモジュラ関数は、有向グラフカット関数によって、どの程度の最良の近似要因で近似可能か？
• RQ2 対称サブモジュラ関数は、無向グラフカット関数によってどの程度よく近似可能か？また、この境界のタイトさはいかがなものか？
• RQ3 バジェット付き加法的関数をカバレッジ関数で近似する際のタイトな近似要因は何か？
• RQ4 モノトーンサブモジュラ関数はカバレッジ関数によってよく近似可能か？その近似のタイトな境界は何か？
• RQ5 対称サブモジュラ関数に対して、グラフカットからハイパーグラフカットに拡張した場合、近似要因はどのように変化するか？

主な発見

• $f(\emptyset) = f(U) = 0$ を満たす一般のサブモジュラ関数は、有向グラフカット関数によって $ n^2/4 $ の要因内で近似可能であり、この境界はタイトである。
• 対称サブモジュラ関数は、無向グラフカット関数によって $ n-1 $ の要因内で近似可能であり、これは定数因子を除いてタイトである。
• バジェット付き加法的関数は、カバレッジ関数によって $ e/(e-1) $ の要因内で近似可能であり、この境界もタイトである。
• モノトーンサブモジュラ関数に関しては、先行研究によりカバレッジ関数による近似要因が $ O(\sqrt{n}\log n) $ と $ \Omega(n^{1/3}/\log^2 n) $ の間にあることが示唆されており、広いギャップが存在する。
• バジェット付き加法的関数からカバレッジ関数への近似における双対プログラム解析により、$ k \to \infty $ のとき双対目的関数値が $ 1 - 1/e $ に近づくことが示され、$ e/(e-1) $ の境界のタイトさが確認された。
• ハイパーグラフカット関数は、$ r $-正則ハイパーグラフでは、対称サブモジュラ関数を $ O(n/r) $ よりもよく近似できない。これは、グラフカットからの下界を拡張したものである。