[論文レビュー] On the arithmetic of Z_p-extensions

Michiel Kosters, Daqing Wan|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴類 p のグローバル関数体における ℤₚ-拡大を研究するための基礎的道具を、Artin-Schreier-Witt 理論およびウィットベクトル技術を用いて開発する。シュミット＝ウィット記号の新たな簡略化された公式を提供し、局所体における指数、判別式、分岐群の明示的計算を可能にするとともに、グローバル ℤₚ-拡大における種数の成長に関する鋭い種数公式と下界を導出し、射影直線上の明示的例を提示する。

ABSTRACT

This paper contains three parts. In the first part, we give a thorough overview of the theory of Artin-Schreier-Witt extensions: this theory allows one to understand the $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$-extensions of any field $K$ of characteristic $p$ via $p$-typical Witt vectors. Let $W_n(K)$ be the ring of $p$-typical Witt vectors of $K$ of length $n$ and let $\wp = F-\mathrm{id}: W_n(K)\longrightarrow W_n(K)$, where $F$ is the Frobenius map and $\mathrm{id}$ is the identity map. Artin-Schreier-Witt theory tells us that the abelian group $W_n(K)/\wp W_n(K)$ represents the set of $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$-extensions of $K$. Since this theory is hard to find in literature, we have included a complete treatment in the paper. In the second part of the paper, we study $\mathbf{Z}_p$-extensions of a local field $K=k((T))$ of characteristic $p>0$ where $k$ is a finite field. Local class field theory and Artin-Schreier-Witt theory give us the Schmid-Witt symbol $$[\ ,\ ): W(K)/\wp W(K) imes \widehat{K^*} o W(\mathbf{F}_p)=\mathbf{Z}_p,$$ which contains the ramification information of $\mathbf{Z}_p$-extensions of $K$. We present a new simplified formula for $[\ ,\ )$. This formula allows one to compute ramification groups, conductors and discriminants in an easy way. In the third part, we study $\mathbf{Z}_p$-extensions of global function fields over a finite field. First, we give a formula for computing the genus in such a tower. We show that a previously obtained lower bound for the genus growth in a $\mathbf{Z}_p$-extension is incorrect and we give a sharp lower bound. We also study when the genus behaves in a `stable' way. Finally, we find unique representatives of $\mathbf{Z}_p$-extensions of the rational function field $k(X)$, and compute the genus in such a tower.

研究の動機と目的

• 古典的クーマー理論が適用できない、特徴類 p のグローバル関数体における ℤₚ-拡大の包括的フレームワークを確立すること。
• 従来の種数成長に関する下界に存在する誤りを是正し、鋭い下界を導出すること。
• ウィットベクトルを用いて、局所 ℤₚ-拡大における指数、判別式、分岐群の明示的で計算可能な公式を提供すること。
• 有理関数体上の ℤₚ-拡大の一意代表元を特徴付け、このような塔における種数を明示的に計算すること。

提案手法

• Artin-Schreier-Witt 理論を用い、Wₙ(K) に属する a に対する Xᵖ − X = a の解を用いて ℤ/pⁿℤ-拡大をパラメトライズし、逆極限により ℤₚ-拡大に拡張する。
• p-進展開とテイクミュラー上に立つ、Schmid-Witt 記号 [ , ) : W(K)/℘W(K) × K* → ℤₚ に対する新たな簡略化された公式を導入する。
• W(K)/℘W(K) の元を一意に cβ + Σ cᵢ[T]⁻ⁱ mod ℘W(K) の形に表現し、c ∈ W(𝔽ₚ), cᵢ ∈ W(k), cᵢ → 0 とすることで、明示的な算術的計算を可能にする。
• 係数の付加的条件に基づく評価の条件から得られる分岐指数 uₓ,ⱼ を用いて、φ(pʲ) を含む公式を通じて種数を計算する。
• 推移的写像を用いた幾何的技法により、剰余体上のウィットベクトルにおけるトレース写像を通じて、非分岐素点におけるフロベニウス元を計算する。
• 種数公式を射影直線 k(ℙ¹) に適用し、ユニットルート拡大における種数成長を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル関数体における ℤₚ-拡大の種数成長に対する正しい鋭い下界は何か？ また、これにより従来の誤った下界がどのように是正されるか？
• RQ2 k((T)) の局所 ℤₚ-拡大における分岐を明示的に計算するために、シュミット＝ウィット記号をどのように簡略化できるか？
• RQ3 有理関数体 k(X) の ℤₚ-拡大における種数公式は何か？ また、その公式はどのような条件下で安定的になるか？
• RQ4 ウィットベクトルを用いて、k(X) 上の ℤₚ-拡大を一意にパラメトライズし、その種数を計算するにはどうすればよいか？
• RQ5 このような拡大における非分岐素点におけるフロベニウス元の幾何的解釈は何か？

主な発見

• 種数成長に対する鋭い下界が確立され、文献に存在した誤った下界が是正された。
• シュミット＝ウィット記号の新たな公式が導出され、古典的 n=1 の場合を一般化し、分岐群および指数の効率的計算を可能にした。
• 射影直線において、n 番目の層の種数は p^{min(n_c,n)}(2gₙ − 2) = −2pⁿ + Σₓ Σⱼ φ(pʲ)uₓ,ⱼ を満たし、uₓ,ⱼ は係数の付加的条件から明示的に計算可能である。
• x = Σ_{(i,p)=1} [bᵢXⁱ] で定義されるユニットルート拡大では、u_∞,ₙ = 1 + dp^{n−1} が得られ、明示的種数公式 2gₙ − 2 = (d/(p+1))p²ⁿ − pⁿ − (p+1+d)/(p+1) が得られる。
• 素点 ℘ が Kₙ/K で分岐するのは、℘ の代表元 x に対して uₓ,ₙ > 0 であるときであり、分岐の明確な基準が得られた。
• 次数 d′ の非分岐素点 𝔭 におけるフロベニウス元は、Tr_{W(k(z))/W(𝔽ₚ)}(a(z)) で与えられ、算術とガロア作用を結ぶ。