[論文レビュー] On the arity gap of polynomial functions

Miguel Couceiro, Erkko Lehtonen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、任意の体上の多項式関数のアリティギャップを、明示的な分解スキームを用いて特徴づける。アリティギャップが3以上である多項式関数は、変数の数が少ない関数と非ゼロのヴァンデルモンド多項式 Δₙ の非ゼロ倍数との和に分解可能な関数に限られる。特性が0または2の体では、アリティギャップがちょうど2である関数についても同様に特徴づけられる。しかし、奇数の特性を持つ無限体にはこの結果は拡張できない。その理由は、対称多項式恒等式における構造的障害に起因する。

ABSTRACT

The authors' previous results on the arity gap of functions of several variables are refined by considering polynomial functions over arbitrary fields. We explicitly describe the polynomial functions with arity gap at least 3, as well as the polynomial functions with arity gap equal to 2 for fields of characteristic 0 or 2. These descriptions are given in the form of decomposition schemes of polynomial functions. Similar descriptions are given for arbitrary finite fields. However, we show that these descriptions do not extend to infinite fields of odd characteristic.

研究の動機と目的

• 代数的分解を用いて、任意の体上の多項式関数のアリティギャップによって分類すること。
• 体の特性に応じて、アリティギャップがちょうど2または少なくとも3である場合を特定すること。
• 奇数の特性を持つ無限体において、分解が成立しない構造的障害を同定すること。
• ブールおよび有限体におけるアリティギャップに関する先行研究を、任意の体上の一般な多項式関数へと拡張すること。

提案手法

• 対称性と変数依存性を捉えるために、ヴァンデルモンド多項式 Δₙ を分解の主要な構成要素として用いる。
• 準本質的アリティ（qa）の微分に基づく特徴づけを用い、それをアリティギャップと関連付ける。
• 無限体上では多項式と多項式関数の間の一対一対応が成り立つため、P = Q + R の分解が一意に保証されることを活用する。
• 対称多項式恒等式と係数系の条件（例：特性3では係数の和がゼロ）を用いて、対角タプル上での挙動を分析する。
• 関数が対角タプル上でゼロとなることを分類するため、奇数サポート（oddsupp）の概念を用いる。
• 有限体およびブール体からの結果を、多項式関数の構造とそのマイナーの分析を通じて、任意の体へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の体上の多項式関数で、アリティギャップが少なくとも3であるものは、どのように特徴づけられるか？
• RQ2 特性が0または2の体において、アリティギャップがちょうど2である多項式関数は、どのように分解できるか？
• RQ3 なぜ、奇数の特性を持つ無限体では、アリティギャップ2の分解スキームが失敗するのか？
• RQ4 多項式関数の代数的分解（対称的および交代的成分に）から、アリティギャップを単独で特定できるか？
• RQ5 ヴァンデルモンド多項式 Δₙ は、多項式関数のアリティギャップを決定づける上で、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 任意の体上の多項式関数で、アリティギャップが少なくとも3であるものは、ちょうど n−p 個の変数に依存する関数 Q と、非ゼロのヴァンデルモンド多項式 Δₙ の非ゼロ倍数 R との和 P = Q + R に分解可能な関数に限られる。
• 特性が0または2の体では、アリティギャップがちょうど2である多項式関数は、n−2 個の変数に依存する関数 Q と、非ゼロの Δₙ の倍数 R との和 P = Q + R に分解可能な関数に限られる。
• 無限体上では、P = Q + R の分解は一意である。これは、多項式と多項式関数の間の一対一対応に起因する。
• 奇数の特性を持つ無限体、例えば特性3では、分解が失敗する。アリティギャップが3であるが、このような分解に必要な係数条件を満たさない関数が存在する。
• 奇数の特性における失敗は、対称多項式係数系に非自明な解が存在するためであり、f|_{Fⁿ_=} が oddsupp によって決定されるが定数でない反例によって示される。
• 結果は、微分可能な実関数には同様の形で拡張されないが、同じギャップ特徴づけを持つように、ℝⁿ 上の微分可能な関数に対しても同様の分解が成り立つ。