[論文レビュー] On the automorphism group of foliations with geometric transverse structure

Laurent Meersseman, Marcel Nicolau+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、幾何的横断的構造を備えたfoliationの自己同型群を調査し、一般のfoliationを保存する微分同相群が任意の意味でLie群であるとは限らないものの、横断的に正則的およびRiemann的foliationの自己同型群は強ILH-Lie群であることを示している。この結果はSobolev完備化および横断的等長写像または正則写像の局所群構造を用いて確立され、無限次元幾何における高度な微積分的手法の適用が可能になる。

ABSTRACT

Motivated by questions of deformations/moduli in foliation theory, we investigate the structure of some groups of diffeomorphisms preserving a foliation. We give an example of a $C^\infty$ foliation whose diffeomorphism group is not a Lie group in any reasonable sense. On the positive side, we prove that the automorphism group of a transversely holomorphic foliation or a riemannian foliation is a strong ILH Lie goup in the sense of Omori.

研究の動機と目的

• 幾何的横断的構造を有するfoliationの自己同型群の構造的曖昧さを解消し、特にそれがLie群構造を有するかどうかを明らかにすること。
• レスリーの以前の主張（すべてのfoliationを保存する微分同相群はFréchet Lie群である）に空白があることを補填するため、反例を構成すること。
• 横断的に正則的およびRiemann的foliationの自己同型群が強ILH-Lie群であることを証明し、無限次元における陰関数定理およびFrobeniusの定理の適用を可能にすること。
• このような自己同型群が微分同相群に閉じており、第二可算かつLPSAC位相を誘導することを確立すること。

提案手法

• 任意の意味でLie群とはなり得ない$ C^{\infty} $ foliationを構成し、幾何的横断的構造の必要性を示すこと。
• Sobolev完備化$ \mathcal{D}^k $と逆極限構造を用いて、自己同型群をILH-Lie群としてモデル化すること。
• 自己同型群$ \operatorname{Aut}(\mathcal{F}) $を、foliationおよびその幾何的構造の両方を保存する微分同相写像の部分群として特定すること。
• 完全な横断的多様体上での局所等長写像または正則写像が1-jetによって一意に定まることを活用し、有限次元埋め込みと局所コンパクト性を実現すること。
• Salemの手法を応用し、局所自己同型がホロノミー擬群と可換なキリングベクトル場または正則ベクトル場から生じることを示すこと。
• 乗法写像$ \hat{\Psi} $および射影写像$ \hat{\Phi} $を用いて局所チャートを構成し、$ \operatorname{Aut}^k(\mathcal{F}) $がHilbert多様体であり、$ \operatorname{Aut}(\mathcal{F}) $がILH-Lie群であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の$ C^\infty $ foliationの自己同型群は、いかなる意味でもLie群である可能性があるか？
• RQ2 横断的構造にどのような幾何的条件が満たされると、foliationの自己同型群が強ILH-Lie群となるか？
• RQ3 横断的に正則的foliationの自己同型群は強ILH-Lie群か？
• RQ4 Riemann的foliationの自己同型群は強ILH-Lie群か？
• RQ5 ホロノミーと可換なベクトル場を用いて、自己同型群を単連結Lie群の局所モデル化できるか？

主な発見

• 横断的に正則的foliationの自己同型群は、定理3.3で示されるように、Lie代数$ \mathfrak{aut}(\mathcal{F}) $を備えた強ILH-Lie群である。
• Riemann的foliationの自己同型群は、定理4.3で確立されたように、$ \mathcal{D}_\mathcal{F} $に閉じており、Lie代数$ \mathfrak{aut}(\mathcal{F}) $を備えた強ILH-Lie群である。
• 自己同型群$ \operatorname{Aut}(\mathcal{F}) $は、単連結な複素Lie群$ G $を横断的モデルとするLie foliation$ \mathcal{F}_\mathcal{D} $を備える。
• 局所自己同型は、ホロノミー擬群と可換なキリングベクトル場または正則ベクトル場の流れとして特定され、局所コンパクト性およびLie群構造が保証される。
• 局所自己同型の群$ \tilde{\Sigma} $は、横断的多様体上の1-jet空間に埋め込まれ、これは有限次元であるため、有限次元的手法の適用が可能になる。
• 群$ \operatorname{Aut}(\mathcal{F}) $の位相は第二可算かつLPSACであり、その良好な位相的構造が確認される。