[論文レビュー] On the behaviour of stochastic heat equations on bounded domains

Mohammud Foondun, Eulàlia Nualart|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、有界領域における乗法的空間時間白色ノイズを伴う確率的熱方程式の解の長時間挙動を調査し、ノイズ強度λが大きい場合、ノイマン境界条件のもとで解の2次モーメントが指数関数的に速く増大することを示している。一方、ディリクレ境界条件のもとでは、λが小さい場合には2次モーメントが減少する。主な貢献は、λに応じた漸近的挙動の鋭い遷移を確立したことであり、特にディリクレラプラシアンの第一固有値に明示的な依存関係があることである。

ABSTRACT

Consider the following equation $$\partial_t u_t(x)=\frac{1}{2}\partial _{xx}u_t(x)+λσ(u_t(x))\dot{W}(t,\,x)$$ on an interval. Under Dirichlet boundary condition, we show that in the long run, the second moment of the solution grows exponentially fast if $λ$ is large enough. But if $λ$ is small, then the second moment eventually decays exponentially. If we replace the Dirichlet boundary condition by the Neumann one, then the second moment grows exponentially fast no matter what $λ$ is. We also provide various extensions.

研究の動機と目的

• 有界区間における乗法的ノイズを伴う確率的熱方程式の解の2次モーメントの長時間挙動を理解すること。
• ノイズ強度λが異なる境界条件のもとで2次モーメントの漸近的増大または減少に与える影響を特定すること。
• λが臨界閾値を越える際に、2次モーメントの指数的減少と指数的増大の間で鋭い遷移が発生することを確立すること。
• 線形のドリフト項を含む方程式への結果の拡張および高階モーメントの考察。
• ノイズの共分散に関する適切な可積分性条件の下で、解の存在および一意性を示すこと。

提案手法

• ディリクレおよびノイマンの熱核を用いた弱い解の定式化により、解を空間時間白色ノイズとの確率的畳み込みとして表現する。
• ウォルシュの確率的積分理論を用いて、解を伊藤の意味でパスごとに定義する。
• p次のモーメントの増大を制御するために、モーメント推定およびバーグシュタインの不等式を用いる。
• ラプラシアンの固有値理論、特に第一固有値を用いて、臨界ノイズ強度λ₀およびλ₁を特徴付ける。
• ピカール反復法においてグロワールの不等式およびホルダーの不等式を適用し、解の存在および一意性を証明する。
• 解のL²ノルムの全体的な増大率を調べるために、エネルギー関数𝒟ₜ(λ) = √𝔼‖uₜ‖²を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディリクレ境界条件のもとで、確率的熱方程式の解の2次モーメントの長時間挙動は、ノイズ強度λにどのように依存するか？
• RQ2 λ < λ₀のとき2次モーメントが指数的に減少し、λ > λ₀のとき指数的に増大するような臨界閾値λ₀が存在するか？
• RQ3 ディリクレ境界条件がノイマン境界条件に置き換わった場合、2次モーメントはどのように変化するか？
• RQ4 線形ドリフト項μが存在する場合、臨界ノイズ強度の閾値λ₀(μ)およびλ₁(μ)はどのように変化するか？
• RQ5 高階モーメント（p ≥ 2）は、2次モーメントと同じ指数的増大または減少を示すか？

主な発見

• ディリクレ境界条件のもとでは、λ₀ > 0 が存在し、すべてのλ < λ₀に対して2次モーメントが指数的に減少する：limsup_{t→∞} (1/t) log 𝔼|uₜ(x)|² < 0。
• λ > λ₁のとき、2次モーメントは指数的に増大する：liminf_{t→∞} (1/t) log 𝔼|uₜ(x)|² > 0、ただしλ₁ > λ₀。
• ノイマン境界条件のもとでは、すべてのλ > 0に対して2次モーメントが指数的に増大する。
• 臨界閾値λ₀およびλ₁は、ディリクレラプラシアンの第一固有値に依存するが、明示的な値は計算されていない。
• エネルギー関数𝒟ₜ(λ) = √𝔼‖uₜ‖²²は、2次モーメントと同様に指数的減少または増大の挙動を示す。
• 2次モーメントが指数的に増大する場合、コーシー＝シュワルツの不等式およびモーメント比較により、高階モーメント𝔼|uₜ(x)|ᵖ（p ≥ 2）も指数的に増大する。