[論文レビュー] On the BICM Capacity

Erik Agrell, Alex Alvarado|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Advanced Wireless Communication Techniques参考文献 77被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、任意の入力アルファベット、分布、および二値ラベル付けにおいて、ビットインタリーブドコード変調（BICM）の1次漸近的容量限界を確立する。本稿は、定常限界（-1.59 dB）に到達するための条件を証明しており、それは超立方体の線形射影である場合に限り成立する。特に、PAM/QAMでは自然二進コード（NBC）が唯一の最適ラベル付けであり、4点を超えるPSKの信号点集合は、いかなるラベル付けを用いても1次的に最適になれないことを示している。

ABSTRACT

Optimal binary labelings, input distributions, and input alphabets are analyzed for the so-called bit-interleaved coded modulation (BICM) capacity, paying special attention to the low signal-to-noise ratio (SNR) regime. For 8-ary pulse amplitude modulation (PAM) and for 0.75 bit/symbol, the folded binary code results in a higher capacity than the binary reflected gray code (BRGC) and the natural binary code (NBC). The 1 dB gap between the additive white Gaussian noise (AWGN) capacity and the BICM capacity with the BRGC can be almost completely removed if the input symbol distribution is properly selected. First-order asymptotics of the BICM capacity for arbitrary input alphabets and distributions, dimensions, mean, variance, and binary labeling are developed. These asymptotics are used to define first-order optimal (FOO) constellations for BICM, i.e. constellations that make BICM achieve the Shannon limit $-1.59 r{dB}$. It is shown that the $\Eb/N_0$ required for reliable transmission at asymptotically low rates in BICM can be as high as infinity, that for uniform input distributions and 8-PAM there are only 72 classes of binary labelings with a different first-order asymptotic behavior, and that this number is reduced to only 26 for 8-ary phase shift keying (PSK). A general answer to the question of FOO constellations for BICM is also given: using the Hadamard transform, it is found that for uniform input distributions, a constellation for BICM is FOO if and only if it is a linear projection of a hypercube. A constellation based on PAM or quadrature amplitude modulation input alphabets is FOO if and only if they are labeled by the NBC; if the constellation is based on PSK input alphabets instead, it can never be FOO if the input alphabet has more than four points, regardless of the labeling.

研究の動機と目的

• 任意の入力アルファベットおよび分布における低SNR領域におけるBICM容量の根本的限界を特定すること。
• BICMにおいてどの信号点集合とラベル付けがシャノン限界に到達するかという未解決の問題を解明すること。
• 従来のBICM容量の漸近的解析を、一様分布でない入力分布や1次元または2次元の信号点集合に限定せず一般化すること。
• 特にPAM、QAM、PSKに対して、一様入力分布下での1次的に最適（FOO）な信号点集合を特徴づけること。

提案手法

• ハダマード変換を用いて、二値ラベル付けと入力分布が相互情報量に与える影響を分析し、BICMの1次漸近的容量式を導出する。
• ラベル行列のスペクトル特性をハダマード変換を用いて特徴づけ、FOO信号点集合の完全分類を可能にする。
• 二値ラベル付け行列の構造を用いて、BICM容量が漸近的にシャノン限界に達する条件を同定する。
• 信号点集合が超立方体の線形射影である場合に限り、それがFOOであることを示し、ハダマード行列および二値符号構造の性質を活用する。
• 8-PAMおよび8-PSKにおけるBRGC、NBC、FBC、BSGCのラベル付けを分析し、それらの漸近的容量性能を比較する。
• 三角関数の和公式および複素指数表現を用いて、各ラベル付けにおける漸近的容量係数αΩBIを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の入力アルファベット、分布、および二値ラベル付けにおけるBICM容量の1次漸近的挙動は何か？
• RQ2 一様入力分布下で、BICMにおいてどの信号点集合とラベル付けがシャノン限界（-1.59 dB）に到達するか？
• RQ3 なぜPAMにおいて二進反転グレイコード（BRGC）はシャノン限界とのギャップが有界に保たれるのに対し、自然二進コード（NBC）ではそうならないのか？
• RQ4 4点を超えるPSK信号点集合は、いかなるラベル付けを用いてもBICMで1次的に最適になれるか？
• RQ5 一様入力分布下でのBICMにおける1次的に最適（FOO）な信号点集合の完全な特徴づけは何か？

主な発見

• 8-PAMで一様入力分布を仮定した場合、折りたたみ二進コード（FBC）はBRGCおよびNBCよりも高いBICM容量を達成し、特に低SNR領域で顕著である。
• AWGN容量とBRGCを用いたBICM容量との1 dBギャップは、入力シンボル分布を最適化することでほぼ解消可能である。
• 8-PAMでは、異なる1次漸近的挙動を示す二値ラベル付けのクラスが72通り存在するが、8-PSKでは26通りにまで減少する。
• 一様入力分布下で、BICMが1次的に最適（FOO）であるための必要十分条件は、信号点集合が超立方体の線形射影であることである。
• PAMおよびQAMでは、自然二進コード（NBC）が唯一、1次的に最適な信号点集合を生成する二値ラベル付けである。
• 4点を超えるPSK信号点集合は、いかなる二値ラベル付けを用いてもBICMで1次的に最適にはならない。