[論文レビュー] On the birational automorphisms of varieties of general type

Christopher D. Hacon, James McKernan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本論文は、一般型の射影的代数的多様体 $X$ について、その双有理自己同型群の位数が、その canonical 体積 $\operatorname{vol}(X,K_X)$ の定数倍で上からおさえられることを示している。この定数は次元 $n$ のみに依存する。証明では、グローバル商対の理論、体積の有界性、および部分加法性（subadjunction）を用いて、商多様体の体積が下から有界であることを示し、結果として体積の関数としての自己同型群の位数に対する一様な上界を得る。

ABSTRACT

We show that the number of birational automorphisms of a variety of general type X is bounded by c \cdot \vol(X,K_X), where c is a constant which only depends on the dimension of X.

研究の動機と目的

• 一般型多様体の双有理自己同型群の位数が、その canonical 体積の関数として一様に上から抑えられることを確立すること。
• 高次元において自己同型群の位数が体積に対して多項式的か指数関数的に増大するかという、長年の未解決問題を解消すること。
• 次元 $n$ のみに依存する正の定数に依存する正の定数によって、一般型多様体のグローバル商対 $(X, \Delta)$ の体積が下から有界であることを示すこと。

提案手法

• グローバル商構成を用いる：一般型多様体 $Y$ とその自己同型群 $G$ に対して、商 $X = Y/G$ と $\mathbb{Q}$-有理被覆 $\Delta$ を作り、$K_Y = \pi^*(K_X + \Delta)$ を満たすようにする。
• 対の理論と $K_X + \Delta$ の体積を用いて、$\operatorname{vol}(Y,K_Y)$ を $|G| \cdot \operatorname{vol}(X,K_X + \Delta)$ に結びつける。
• 次元 $n$ のみに依存する正の定数 $\delta > 0$ によって、$\operatorname{vol}(X,K_X + \Delta)$ が下から有界であることを示す。この証明には帰納法と対数正則線形系列の変形不変性を用いる。
• 部分加法性と非常に一般な点を通る非klt中心の存在を用いて、部分多様体上の体積の下界を得る。
• 対の有界性理論と体積の DCC（下降鎖条件）を用いて、グローバル商対の体積の集合が DCC を満たすことを示す。
• 結論として、$|G| \leq c \cdot \operatorname{vol}(Y,K_Y)$ が成り立ち、$c = 1/\delta$ であり、$\delta$ は次元 $n$ のみに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般型多様体の双有理自己同型群の位数は、その canonical 体積の関数として抑えられるか？
• RQ2 次元 $n$ において、一般型多様体のグローバル商対 $(X, \Delta)$ の体積に、特定の多様体に依存しない一様な下界が存在するか？
• RQ3 一般型多様体 $Y$ とその自己同型群 $G$ に対して、商多様体 $X = Y/G$ の体積が 0 から離れているか？
• RQ4 有界な対の体積に対する DCC を用いることで、高次元における自己同型群の有限性を示せるか？
• RQ5 高次元において、自己同型群の位数が体積に対して指数関数的成長を上回るか？

主な発見

• 任意の $n$ 次元一般型多様体の双有理自己同型群の位数は、$c \cdot \operatorname{vol}(X,K_X)$ で抑えられ、$c$ は次元 $n$ のみに依存する。
• 一般型多様体のグローバル商対 $(X, \Delta)$ に関連する体積は、次元 $n$ のみに依存する正の定数 $\delta > 0$ で下から有界であり、このため上界は有効的である。
• 例として、$m = n+3$ であるフェルマー超曲面を用いることで、$c$ が $n$ に対して指数関数的より速く増加することが示された。$n \geq 5$ のとき、$|\operatorname{Aut}(X)| / \operatorname{vol}(X,K_X)$ は $42^n$ を超える。
• 証明は次元に関する帰納法に依存し、対数正則線形系列の変形不変性と部分加法性を用いて、部分多様体上の体積の下界を得る。
• 次元 $n$ のグローバル商対の体積の集合は DCC（下降鎖条件）を満たす。これは有界性の議論において不可欠である。
• 正の特性においては、この結果は成り立たない。フェルマー超曲面に作用するユニタリ群 $U_{n+2}(q)$ の例では、自己同型群の位数が体積に対していかなる多項式よりも速く増大する。