[論文レビュー] On the boundary behaviour of the Hardy spaces of Dirichlet series and a frame bound estimate

Jan‐Fredrik Olsen, Eero Saksman|ArXiv.org|Jul 15, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$p \geq 1$ におけるDirichlet-Hardy空間 $\mathscr{H}^p$ の境界挙動を調査し、$\mathscr{H}^2$ に属する関数が、任意の境界区間を越えて解析接続可能な古典的Hardy空間 $H^2(\mathbb{C}_{1/2})$ の関数により近似可能であることを確立している。主な結果は、任意の $H^2(\mathbb{C}_{1/2})$ に属する関数に対して、その差が与えられた境界区間を越えて解析的拡張可能な $\mathscr{H}^2$ に属する関数が存在することを示しており、$\sigma = 1/2$ の近傍における両空間の深い構造的類似性を示している。これは、フレーム理論、Carleson測度、および無限次元トーラス上の関数空間埋め込みを用いて達成された。

ABSTRACT

A range of Hardy-like spaces of ordinary Dirichlet series, called the Dirichlet-Hardy spaces $\Hp^p$, $p \geq 1$, have been the focus of increasing interest among researchers following a paper of Hedenmalm, Lindqvist and Seip in Duke Math. J 86 (1997), 1-37. The Dirichlet series in these spaces converge on a certain half-plane, where one may also define the classical Hardy spaces $H^p$. In this paper, we compare the boundary behaviour of elements in $\Hp^p$ and $H^p$. Moreover, Carleson measures of the spaces $\Hp^p$ are studied. Our main result shows that for certain cases the following statement holds true. Given an interval on the boundary of the half-plane of definition and a function in the classical Hardy space, it possible to find a function in the corresponding Dirichlet-Hardy space such that their difference has an analytic continuation across this interval.

研究の動機と目的

• Dirichlet-Hardy空間 $\mathscr{H}^p$ と、半平面 $\sigma > 1/2$ における古典的Hardy空間 $H^p(\mathbb{C}_{1/2})$ の関数の境界挙動を比較すること。
• 空間 $\mathscr{H}^p$ のCarleson測度を研究し、それらが境界挙動を理解する上で果たす役割を明らかにすること。
• $H^2(\mathbb{C}_{1/2})$ に属する関数が、その差が境界区間を越えて解析的拡張可能な $\mathscr{H}^2$ に属する関数により近似可能であるような条件を確立すること。
• $F/s \in H^2$ のテクニックを用いて、$\mathscr{H}^2$ に属する関数が非接線的境界極限をもち、局所的に $L^2$-可積分であることを示すこと。

提案手法

• $\mathbb{R}$ 上の $L^p$-ノルムにおける有限Dirichlet多項式の閉包として、無限次元トーラスモデルを用いて $\mathscr{H}^p$ を定義すること。
• 関数空間およびその境界挙動を分析するため、フレーム理論と作用素論を応用すること。
• 関数が境界 $\sigma = 1/2$ の近くで成長するのを制御するため、Carleson測度を用いること。
• $F \in \mathscr{H}^2 \Rightarrow F/s \in H^2(\mathbb{C}_{1/2})$ の埋め込みを用いて、局所的 $L^2$ 境界可積分性を導出すること。
• $2I$ 上の分布に対する共形写像と境界値理論を用いて、解析的接続を構成すること。
• $W^\alpha_0(I)$ 及びその双対空間を用いて、境界極限における正則性とノルム同値性を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dirichlet-Hardy空間 $\mathscr{H}^2$ に属する関数は、その差が境界区間を越えて解析的拡張可能な古典的Hardy空間 $H^2(\mathbb{C}_{1/2})$ の関数により近似可能か？
• RQ2 $\sigma = 1/2$ の近傍における $\mathscr{H}^p$ と $H^p(\mathbb{C}_{1/2})$ 関数の境界挙動の正確な関係は何か？
• RQ3 $\mathscr{H}^p$ 空間のCarleson測度は、それら関数の非接線的境界極限とどのように関係しているか？
• RQ4 $\mathscr{H}^2$ 関数は、境界上で $H^2(\mathbb{C}_{1/2})$ 関数と同程度の局所的正則性を持つ性質をどれほど共有しているか？
• RQ5 $W^{\alpha/2}(2I)$ に属する境界分布の実部は、$\mathscr{H}^2_\alpha$ に属する関数の境界値として実現可能か？

主な発見

• 任意の有界区間 $I \subset \mathbb{R}$ および任意の関数 $f \in H^2(\mathbb{C}_{1/2})$ に対して、$F - f$ が $I$ を越えて解析的拡張可能な関数 $F \in \mathscr{H}^2$ が存在する。
• $F - f$ は、$\sigma = 1/2$ に二つの放射線を除いた複素平面 $\mathbb{C}_I$ 上で解析的であり、境界を越えて局所的に解析的であることを示唆している。
• $\mathscr{H}^2$ に属する関数は、非接線的境界極限をもち、$F/s \in H^2(\mathbb{C}_{1/2})$ の結果として、局所的に $L^2$-可積分である。
• $f \in D_\alpha(\mathbb{C}_{1/2})$ の境界分布の実部は、$F \in \mathscr{H}^2_\alpha$ に属する関数の境界値として実現可能であり、$F - f$ の解析的接続を保証する。
• $\mathscr{H}^2$ に属する関数で境界値が $W^{\alpha/2}(2I)$ に属する空間は、解析的接続を除いて、$H^2(\mathbb{C}_{1/2})$ 関数に対応する空間において稠密である。
• あるノルム定数が存在し、$f + \mathscr{H}^2$ のコセットにおける最小要素のノルムが制御可能であり、近似における安定性を保証する。