[論文レビュー] On the Capacity of Channels with Deletions and States

Yonglong Li, Vincent Y. F. Tan|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2019

DNA and Biological Computing参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、削除チャネルと有限状態チャネル（FSC）を直列接続したチャネルの運用容量が、その定常容量に等しいことを確立している。これは、増加するマルコフ順序を持つマルコフ近似スキームを介して達成される。主な副産物として、Tal, Pfister, Fazeli, Vardyの極性符号化スキームが、正規の隠れマルコフ入力を用いることで真の容量に近づけることから、削除チャネルの容量を達成できることを証明している。

ABSTRACT

We consider the class of channels formed from the concatenation of a deletion channel and a finite-state channel. For this class of channels, we show that the operational capacity is equal to the stationary capacity, which can be approached by a sequence of Markov processes with increasing Markovian orders. As a by-product, we show that the polar coding scheme constructed by Tal, Pfister, Fazeli and Vardy achieves the capacity of the deletion channel.

研究の動機と目的

• 削除チャネルと有限状態チャネル（FSC）を直列接続した通信チャネルの容量を分析すること。
• このチャネルモデルの運用容量がその定常容量に等しいことを示すこと。
• マルコフ順序を増加させることでマルコフ容量が運用容量に収束することを証明することで、このチャネルクラスにおけるマルコフ近似スキームの有効性を検証すること。
• 正規の隠れマルコフ入力が削除-FSCチャネルの容量を達成できるかどうかという未解決の問題を解消すること。
• Tal らが提唱した極性符号化スキームが削除チャネルの容量を達成できることを示すこと。

提案手法

• 入力系列が確率的削除と状態依存遷移を受けるものとして、削除チャネルとFSCの直列接続としてチャネルモデルを形式化する。
• 増加する順序 m における m 階マルコフ容量の概念を導入し、m 階マルコフ入力過程の最適化によって計算する。
• FSCの非分解性と正規の隠れマルコフ入力の強い極性性を組み合わせて、マルコフ容量列が運用容量に収束することを示す。
• 異なる初期状態における条件付き出力分布間の全 Variation 距離をバインドするためのカップリング論法を適用し、漸近的な状態非依存性を証明する。
• ブロック内の削除数が二項分布に従うという事実を活用し、初期状態の不確実性の影響を制御するための集中論法を適用する。
• マルコフ近似フレームワークと記憶付きチャネルにおける最近の極性に関する結果を組み合わせて、容量を達成する符号化スキームを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 削除チャネルとFSCの直列接続において、マルコフ近似スキームは運用容量に収束するか？
• RQ2 正規の隠れマルコフ入力は削除-FSCチャネルの容量を達成できるか？
• RQ3 Tal らが提唱した極性符号化スキームは削除チャネルの容量を達成できるか？
• RQ4 削除-FSCチャネルの定常容量はその運用容量と一致するか？
• RQ5 FSC部における異なる初期状態下での出力分布の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 削除-FSCチャネルの運用容量がその定常容量に等しいことが判明し、削除と記憶を持つチャネルの容量理論における重要な問いに解決が与えられた。
• マルコフ順序 m を増加させることで、m 階マルコフ容量の列が運用容量に収束することが確認され、このチャネルモデルにおけるマルコフ近似スキームの有効性が裏付けられた。
• Tal, Pfister, Fazeli, Vardy の極性符号化スキームが削除チャネルの容量を達成できることを示し、正規の隠れマルコフ入力が真の容量に近づけることから裏付けられた。
• FSCの混合性と削除の二項分布的性質のおかげで、十分なブロック長に達するとFSCの出力分布は初期状態に依存しなくなる。
• ブロック長が増加するにつれて、異なる初期状態下での出力分布間の全 Variation 距離は 0 に収束し、容量を達成する符号化スキームの実現が可能になる。