[論文レビュー] On the Cauchy- and periodic boundary value problem for a certain class of derivative nonlinear Schroedinger equations

Axel Gruenrock|ArXiv.org|Jun 26, 2000

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 6被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、複素共役波動関数の空間微分を含むべき型非線形項を有する誘導非線形シュレーディンガー方程式の初期値問題および周期的境界値問題について、局所的well-posednessを確立する。Fourier制限ノルム法を用い、$X^{/pm}_{s,b}$および$Y_s$空間を導入することで、正則性$s > s_c = \frac{n}{2} - \frac{1}{m-1}$におけるwell-posednessを証明する。特に、1次元における2次非線形項（$m=2$, $n=1$）に対しては、$L^2$ノルムの保存により、$L^2$-global well-posednessが成立する。

ABSTRACT

The Cauchy- and periodic boundary value problem for the nonlinear Schroedinger equations in $n$ space dimensions [u_t - iΔu = ( abla \bar{u})^β, |β|=m \ge 2, u(0)=u_0 \in H^{s+1}_x] is shown to be locally well posed for $s > s_c := \frac{n}{2} - \frac{1}{m-1}$, $s \ge 0$. In the special case of space dimension $n=1$ a global $L^2$-result is obtained for NLS with the nonlinearity $N(u)= \partial_x (\bar{u} ^2)$. The proof uses the Fourier restriction norm method.

研究の動機と目的

• 誘導非線形シュレーディンガー方程式$u_t - i\Delta u = (\nabla \bar{u})^\beta$（$|\beta| = m \geq 2$）の初期値問題および周期的境界値問題の局所的well-posednessを確立すること。
• 局所的well-posednessの鋭い正則性閾値$s_c = \frac{n}{2} - \frac{1}{m-1}$を、$H^{s+1}_x$または$H^s_x$空間において特定すること。
• 非線形項$\partial_j(\bar{u}^m)$の拡張を行い、同じ正則性閾値が成り立つことを示すこと。
• $m=2$, $n=1$の特別な場合において、$\|u(t)\|_{L^2}$の保存により、$L^2$における大域的well-posednessを証明すること。

提案手法

• 空間時間のフーリエ変換を用いて定義される$X^{\pm}_{s,b}$空間を用いたFourier制限ノルム法を採用。ノルムは$\langle \xi \rangle^s \langle \tau \pm |\xi|^2 \rangle^b$を含む。
• 非線形項を制御するための補助空間$Y_s$を導入。ノルムは$\| \langle \xi \rangle^s \langle \tau + |\xi|^2 \rangle^{-1} \mathcal{F}f \|_{L^2_\xi(L^1_\tau)}$で定義される。
• 時間区間$I$における制限ノルム$X^{\pm}_{s,b}(I)$を用い、解の時間局在化を実現する。
• 非線形項$\partial_j(\bar{u}^m)$の制御に、$X^{\pm}_{s,b}$および$Y_s$空間における多項式的推定を適用。補間および周波数局在化に依存する。
• $Y_s$ノルムにおける特異性を扱うために、$\epsilon$-正則化のテクニックを用い、$\| \langle \tau + |\xi|^2 \rangle^{\epsilon} F_i \|_{L^2_{\xi\tau}}$を導入する。
• 1次元において、$\partial_x: \dot{H}^1_x \to L^2_x$の同型性を用い、$u \in L^2$における$\boldsymbol{L^2}$-大域的結果を$u \in \dot{H}^1_x$に移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誘導非線形シュレーディンガー方程式$u_t - i\Delta u = (\nabla \bar{u})^\beta$（$|\beta| = m \geq 2$）の局所的well-posednessに必要な鋭い正則性閾値$s$は何か？
• RQ2 $m=2$, $n=1$のとき、1次元空間における2次非線形項$\partial_x(\bar{u}^2)$に対して、$L^2$における大域的well-posednessは達成可能か？
• RQ3 Fourier制限ノルム法は、$m \geq 2$の誘導非線形項にどのように拡張可能か？
• RQ4 $Y_s$空間は、周期的および非周期的設定において非線形項を制御するために果たす役割は何か？
• RQ5 正則性閾値$s > \frac{n}{2} - \frac{1}{m-1}$は最適であり、スケーリング議論によりこれが確認されるか？

主な発見

• 非線形項$\partial_j(\bar{u}^m)$を有する方程式$u_t - i\Delta u = \partial_j(\bar{u}^m)$は、$X^{+}_{s,b}([-T,T])$において、$s > s_c = \frac{n}{2} - \frac{1}{m-1}$、$s \geq 0$の下で局所的well-posedである。$T = T(\|u_0\|_{H^s_x}) > 0$である。
• $m=2$, $n=1$のとき、$\|u(t)\|_{L^2_x}$の保存により、解は$C^0(\mathbb{R}, L^2_x)$において大域的well-posedである。$s=0$に対しても成立する。
• 解写像$u_0 \mapsto u$は、任意の$T' < T$に対して、$H^s_x$から$X^{+}_{s,b}([-T',T'])$への局所リプシッツ連続性を有する。
• $s \in (s_c, \frac{n}{2})$において、$Y_s$ノルム推定$\| \prod_{i=1}^m v_i \|_{Y_{s+1}} \leq c T^\theta \prod_{i=1}^m \|v_i\|_{X^{-}_{s,1/2}}$が確立される。$n=1$, $m \in \{3,4\}$の場合は、$s \leq \frac{1}{3}$である。
• 多項式的推定は、周波数分解とコーシー・シュワルツの不等式を用い、$\langle \xi \rangle^2 \leq \langle \tau + |\xi|^2 \rangle + \sum_i \langle \tau_i - |\xi_i|^2 \rangle$の不等式を用いて証明される。
• スケーリング議論により、$\|u_\lambda^0\|_{\dot{H}^{s_c}_x}$がスケーリングに対して不変であることが示され、$s_c$が臨界閾値であることが確認される。