[論文レビュー] On the Cauchy problem for two dimensional incompressible viscoelastic flows

Xianpeng Hu, Fanghua Lin|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、初期データが大きいかかかわらず、2次元非圧縮性Oldroyd粘弾性流体モデルに対して、Leray-Hopf型弱解の時間全域での存在を確立する。著者らは、Cauchy-Greenテンソル $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ の空間時間 $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-ノルムに対する新たな事前推定を導入することで、流れ写像の変形に起因するエネルギー集中を防ぎ、有効な粘性フラックスを用いて振動を制御し、DiPerna-Lionsのコンパクト性議論をこの双曲型-放物型系へ拡張する。

ABSTRACT

We study the large-data Cauchy problem for two dimensional Oldroyd model of incompressible viscoelastic fluids. We prove the global-in-time existence of the Leray-Hopf type weak solutions in the physical energy space. Our method relies on a new $ extit{a priori}$ estimate on the space-time norm in $L^{\f32}_{loc}$ of the Cauchy-Green strain tensor $τ=\F\F^ op$, or equivalently the $L^3_{loc}$ norm of the Jacobian of the flow map $\F$. It allows us to rule out possible concentrations of the energy due to deformations associated with the flow maps. Following the general compactness arguments due to DiPerna and Lions (\cite{DL}, \cite{FNP}, \cite{PL}), and using the so-called extit{effective viscous flux}, $\mathcal{G}$, which was introduced in our previous work \cite{HL}, we are able to control the possible oscillations of deformation gradients as well.

研究の動機と目的

• 初期データが任意に大きくても、2次元非圧縮性Oldroyd粘弾性モデルに対する時間全域での弱解の存在を確立すること。
• 粘弾性系において流れ写像の変形に起因するエネルギー集中を克服すること。
• 有効な粘性フラックス $ \mathcal{G} $ を用いて、変形勾配の可能性のある振動を制御し、DiPerna-Lions理論をこの結合された双曲型-放物型系へ拡張すること。
• エネルギー集中を制御し、コンパクト性を可能にするために、Cauchy-Greenひずみテンソル $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ の $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-ノルムに関する新たな事前推定を導出すること。

提案手法

• 流れ写像 $ \mathbf{F} $ のヤコビアンの $ L^3_{\text{loc}} $-ノルムに等価な、空間時間 $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-ノルムに対する新たな事前推定を導入し、変形に起因するエネルギー集中を防ぐ。
• 先行研究で導入された有効な粘性フラックス $ \mathcal{G} $ を用いて、変形勾配 $ \mathbf{F} $ の振動を制御し、弱解構成におけるコンパクト性を実現する。
• 変形テンソルに関する構造的推定を導くために、$ \text{div}\, \mathbf{F}^T = 0 $ および $ \det \mathbf{F tau} = 1 $ を用い、特に $ E_{11}-E_{22} $ および $ E_{12}+E_{21} $ の成分に注目する。
• 線形結合 $ E_{11}-E_{22} + \sqrt{2}(E_{12}+E_{21}) $ および $ E_{12}+E_{21} - \sqrt{2}(E_{11}-E_{22}) $ の進化方程式を導出し、それらのエネルギー型推定を用いて $ L^\infty $-有界性を獲得する。
• 応力テンソルの分解を用い、$ \det E $ の二次的構造を活用して、$ \|E(t)\|_{L^\infty} $ を $ \mathcal{G}_j $ の項で有界化し、変形勾配の均一な制御を保証する。
• 新しい推定を用いてDiPerna-Lionsのコンパクト性フレームワークを拡張し、ガラーキン近似で極限を取ることで、時間全域の弱解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが小さくない場合でも、2次元非圧縮性Oldroydモデルに対して、時間全域の弱解を構成できるか？
• RQ2 流れ写像の変形に起因するエネルギー集中は、粘弾性系においてどのように排除できるか？
• RQ3 強いコンパクト性が欠如する状況下で、有効な粘性フラックス $ \mathcal{G} $ は変形勾配 $ \mathbf{F} $ の振動をどのように制御するか？
• RQ4 Cauchy-Greenテンソル $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ の $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-ノルムに関する新たな事前推定は、エネルギー推定を閉じ、時間全域での存在を保証するために利用可能か？
• RQ5 2次元において、$ \det \mathbf{F} = 1 $ および $ \text{div}\, \mathbf{F}^T = 0 $ の構造的恒等式のみを用いて、変形勾配成分の $ L^\infty $-有界性を導出可能か？

主な発見

• 本稿は、物理的エネルギー空間において任意に大きな初期データを持つ2次元非圧縮性Oldroydモデルに対して、Leray-Hopf型弱解の時間全域での存在を確立する。
• 流れ写像の変形に起因するエネルギー集中を防ぐために、Cauchy-Greenテンソル $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ の空間時間 $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-ノルムに関する新たな事前推定を導出する。
• 有効な粘性フラックス $ \mathcal{G} $ を用いて、変形勾配 $ \mathbf{F} $ の振動を制御し、DiPerna-Lionsのコンパクト性議論の適用を可能にする。
• 変形勾配成分 $ E_{11}-E_{22} $ および $ E_{12}+E_{21} $ の $ L^\infty $-ノルムは、その進化方程式に対するエネルギー型推定を用いて $ \mathcal{G}_2 $ および $ \mathcal{G}_3 $ の項で有界化される。
• $ \|E(t)\|_{L^\infty} $ の有界性は、$ \mathcal{G}_j $ および $ \det E $ の二次的構造によって制御され、変形テンソルの均一な制御が保証される。
• 本結果は、行列値未知数を有する結合された双曲型-放物型系へDiPerna-Lionsフレームワークを拡張し、粘弾性流体モデルの取り扱いに新たな手法を提供する。