[論文レビュー] On the Chebyshev approximation of a function with two variables

Ernest Scheiber|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2015

Advanced Computational Techniques in Science and Engineering参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2次元離散フーリエ変換（2D-DFT）を用いた二変数チェビシェフ近似多項式の構築法を提示し、目的関数への一様収束を実現する。この手法は、チェビシェフ級数展開とラグランジュ・チェビシェフ補間を活用し、テスト関数における数値的妥当性を確認した高精度な近似を達成しており、Chebfunの低ランクガウスの消去法とは対照的に、標準的なソフトウェアで簡素に実装可能な代替手法を提供する。

ABSTRACT

There is presented an approach to find an approximation polynomial of a function with two variables based on the two dimensional discrete Fourier transform. The approximation polynomial is expressed through Chebyshev polynomials. There is given an uniform convergence result.

研究の動機と目的

• 二変数関数近似のためのChebfunの低ランクガウスの消去法の代替手法を開発すること。
• 一般的な数学ソフトウェアに備わる標準的な2D-DFTツールを用いて、二変数関数の高精度近似を可能にすること。
• 滑らかさの条件下で、ラグランジュ・チェビシェフ補間多項式が真の関数に一様収束することを確立すること。
• チェビシェフ近似を用いた数値的積分および偏微分の計算のための実用的手法を提供すること。
• 誤差および積分比較を含む数値実験を通じて、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 本手法は、テンソルグリッド上でサンプリングされた関数値の2次元離散フーリエ変換（2D-DFT）を用いて、二変数チェビシェフ近似多項式を構築する。
• チェビシェフ係数は、チェビシェフ＝レジャンドル節点における関数値の複素数2D-DFTを計算することで得られ、周期性と台形則近似を活用する。
• 近似多項式は、チェビシェフ多項式の積 $ T_n(x)T_m(y) $ の二重和として表現され、DFT出力から導かれる係数を用いる。
• 関数がチェビシェフ節点で一致する多項式を構築するためにラグランジュ・チェビシェフ補間が用いられ、一意性と収束性が保証される。
• 関数の2階偏微分が連続であるという仮定の下で、一様収束性が証明される。
• 数値的積分および偏微分の計算は、チェビシェフ級数係数から導かれる閉形式式を用いて実行される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元離散フーリエ変換は、二変数関数近似のためのチェビシェフ係数を効果的に計算するために有効に利用可能か？
• RQ2 滑らかさの条件下で、得られるラグランジュ・チェビシェフ補間多項式は元の関数に一様収束するか？
• RQ3 誤差および計算コストの観点から、2D-DFTに基づく手法は、Chebfunの低ランク近似などの既存手法と比較してどれほど精度が優れているか？
• RQ4 標準的な数学ソフトウェアにおける標準DFTルーチンを用いて、本手法は効率的に実装可能か？
• RQ5 切り捨て誤差および丸め誤差は、切り捨てられたチェビシェフ級数を用いた数値的積分および微分計算にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 関数 $ f(x,y) = \cos(xy) $ について、$ 50 \times 50 $ の等間隔グリッド上での最大絶対誤差は $ 8.2141 \times 10^{-5} $、残差指標は $ 3.97247 \times 10^{-10} $ であった。
• 関数 $ g(x,y) = \cos(10xy^2) + e^{-x^2} $ について、最大絶対誤差は $ 2.98594 \times 10^{-13} $ であり、残差指標はゼロであった。これは高い数値的精度を示している。
• 本手法を用いて計算された $ f(x,y) = \cos(xy) $ の数値的積分値は $ 3.784330902 $ であり、Mathematicaの結果 $ 4\mathrm{Si}(1) \approx 3.78433228147 $ と非常に近い値であった。
• 2番目のテスト関数では、機械精度に達しており、積分値は報告された有効数字内ではMathematicaの結果と完全に一致した。
• 関数 $ f $ が連続的な2階偏微分を持つという条件下で、補間多項式 $ L_{n,m} $ が $ f $ に一様収束することが確立された。
• 本手法は、Chebfunのガウスの消去法に基づく手法の有効な代替手段を提供するが、標準ソフトウェアでの実装は簡素であるものの、高精度では大容量メモリを要する可能性がある。