[論文レビュー] On the classification of surfaces of general type with non-birational bicanonical map and Du Val Double planes

Giuseppe Borrelli|ArXiv.org|Dec 18, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、正則性および非標準的ケースの仮定の下で、その2次 canonical 写像が双有理的でない最小一般型の曲面を分類し、このような曲面は、種数3の超楕円的線形系統をもつ、またはDu Valの二重平面（平面またはHirzebruch曲面への分岐が所定の特異点をもつ曲線である2重被覆）の滑らかな最小モデルであることを示した。主な結果は、2次 canonical 写像が有理曲面またはリーマン曲面への2次写像を通じて因数分解する、有理曲面に因数分解する、およびDu Valの二重平面である、という3条件の同値性を確立している。

ABSTRACT

We classify surfaces of general type whose bicanonical map is composed with a rational map of degree 2 onto a rational or ruled surface.

研究の動機と目的

• 2次 canonical 写像が双有理的でない最小一般型曲面を分類すること、特にその写像が2次有理写像を通じて因数分解する場合を対象とする。
• 1950年代のDu Valの二重平面構成に関する予想を、正則性および非標準的ケースの仮定の下で完全な分類にまで拡張すること。
• 2次 canonical 写像が有理曲面またはリーマン曲面への2次写像を通じて因数分解する場合を特定し、その結果得られる曲面を特徴づけること。
• 特に、超楕円的ファイバーをもつ有理線形系統の存在を含め、そのような曲面の幾何的構造を同定すること。

提案手法

• |2K_S| と |K_S| = |M| + F の分解（|M| は可動部分）を用いて、φ₂K: S ⇢ S₂ としての2次 canonical 写像を線形系統を通して分析する。
• φ₂K が双有理的でない場合に、S が正則であれば、一般 canonical 曲線 M は超楕円的であり、φ₂K は S₂ への2次射影となることを示す。
• N = K_S² + p_g(S) を用いて不等式 2K_S² < 2N - 2 を適用し、S₂ が有理曲面またはリーマン曲面であることを示し、q(S) = 0 のとき S₂ が有理曲面であることを導出する。
• [18] および [11] の結果を適用して、S₂ が有理曲面でない場合を除き、K_S² = 3 または 4 の場合を除外し、K_S² = 4 が不可能であることを示す。
• Du Val の二重平面の構造（ℙ² または ℱ₂ への分岐が特定の特異点（例：(2n+2)-重点、[5,5]-点）をもつ曲線である2重被覆）を用いて、すべてのこのような曲面を分類する。
• 有理線形系統および基点の理論を適用し、特に超楕円的対合を誘導する一般ファイバー上での2次 canonical 写像の振る舞いを特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小一般型曲面の2次 canonical 写像が双有理的でなく、かつ有理曲面またはリーマン曲面への2次写像を通じて因数分解する条件は何か？
• RQ2 そのような曲面がDu Valの二重平面の滑らかな最小モデルであるための条件は何か？
• RQ3 そのような曲面が必ずもつ幾何的構造（例：有理線形系統、超楕円的ファイバー）は何か？
• RQ4 K_S² と p_g(S) の値が、Du Valの二重平面における分岐曲線の可能な配置をどのように制約するか？

主な発見

• 曲面が正則で標準的でない種数2線形系統のケースでない限り、2次 canonical 写像 φ₂K が非双有理的であることと、それが有理曲面への2次写像を通じて因数分解することとは同値である。
• すべてのこのような曲面は、分岐曲線が指定された特異点（(2n+2)-重点、[5,5]-点など）をもつ、タイプ 𝒟ₙ、ℱ₂、または ℙ² へのDu Valの二重平面の滑らかな最小モデルである。
• K_S² = 8 かつ p_g(S) = 6、または K_S² = 2 かつ p_g(S) = 3 の場合、曲面には超楕円的線形系統がなく、K_S は非常に ample である。
• その他のすべてのケースでは、一般ファイバーが種数3の滑らかな超楕円的曲線である有理線形系統 |H| が存在し、φ₂K は H 上で超楕円的対合を誘導する。
• n ≤ 1 のとき、線形系統 |H| は1つの基点をもつ。n ≥ 2 のとき、|H| は基点をもたず、n 個の二重ファイバーをもつ。
• 分類は、すべての正則曲面で p_g(S) ≥ 2 かつ φ₂K が非双有理的である場合を含み、2次写像の仮定のもとで p_g(S) = 1 かつ q(S) = 0 の場合にも拡張される。