[論文レビュー] On the Complexity of Computing Zero-Error and Holevo Capacity of Quantum Channels

Salman BeigiPeter, W. Shor|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 26被引用数 63

ひとこと要約

この論文は、量子チャネルを通じて伝送された後もk個の量子状態が完全に区別可能であるかどうかを特定するという量子クラーク問題—量子情報理論における根本的な複雑性を示すQMA完全性—を確立した。さらに、エンタングルメントブレイキングを含む量子チャネルのホーレボ容量および最小出力エントロピーを計算することはNP完全であることが示され、量子チャネル容量推定における深い計算的限界が浮き彫りになった。

ABSTRACT

One of the main problems in quantum complexity theory is that our understanding of the theory of QMA-completeness is not as rich as its classical analogue, the NPcompleteness. In this paper we consider the clique problem in graphs, which is NPcomplete, and try to find its quantum analogue. We show that, quantum clique problem can be defined as follows; Given a quantum channel, decide whether there are k states that are distinguishable, with no error, after passing through channel. This definition comes from reconsidering the clique problem in terms of the zero-error capacity of graphs, and then redefining it in quantum information theory. We prove that, quantum clique problem is QMA-complete. In the second part of paper, we consider the same problem for the Holevo capacity. We prove that computing the Holevo capacity as well as the minimum entropy of a quantum channel is NP-complete. Also, we show these results hold even if the set of quantum channels is restricted to entanglement breaking ones.

研究の動機と目的

• チャネルを通じた量子状態のゼロエラー区別可能性を用いて、古典的NP完全なクリーク問題の量子アナログを定義すること。
• 量子チャネルのゼロエラー容量を特定する計算的複雑性を調査し、それを量子クラーク問題として定式化すること。
• エンタングルメントブレイキングチャネルを含む量子チャネルのホーレボ容量および最小出力エントロピーを計算する複雑性を分析すること。
• これらの量子容量計算問題がNP完全であることを確立し、古典的複雑性結果を量子設定に拡張すること。

提案手法

• グラフのエッジをチャネル伝送下での量子状態の区別可能性に翻訳することで、グラフのゼロエラー容量に基づいて古典的クリーク問題を再定式化する。
• 与えられた量子チャネルを通った後もk個の量子状態が完全に区別可能かどうかを決定する問題として、量子クラーク問題を定義する。
• 既知のQMA完全問題からの還元を用いた既知の複雑性理論的還元および構成を適用し、量子クラーク問題がQMA完全であることを示す。
• 同様の技術を用いて、エンタングルメントブレイキングチャネルに制限された場合でさえも、量子チャネルのホーレボ容量および最小出力エントロピーを計算することはNP完全であることを示す。
• フォン・ノイマンエントロピーおよび相互情報量などの量子チャネルおよび情報理論的測度の性質を活用して、計算問題を形式化する。
• 既知のNP完全問題からの還元を用いて下界を示し、ホーレボ容量およびエントロピー問題のNPに属することを示す多項式時間検証者を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子チャネルおよびゼロエラー通信の文脈において、古典的クリーク問題の自然な量子アナログは存在するか？
• RQ2 k個の量子状態が量子チャネルを通じて伝送された後も完全に区別可能であるかどうかを特定する計算的複雑性は何か？
• RQ3 量子チャネルのホーレボ容量を計算することは計算的に困難な問題であるか？ もしそうなら、これは古典的類似物と比較してどのように複雑性が異なるか？
• RQ4 エンタングルメントブレイキング量子チャネルに制限された場合でも、ホーレボ容量および最小出力エントロピーの計算のNP完全性は維持されるか？
• RQ5 量子クラーク問題が、NPの量子アナログであるQMAについて完全であることを示せるか？

主な発見

• 量子チャネルを通じて伝送された後もk個の量子状態が完全に区別可能であるかどうかを特定する量子クラーク問題は、QMA完全であることが証明された。
• エンタングルメントブレイキングチャネルに制限された場合でさえも、量子チャネルのホーレボ容量を計算することはNP完全である。
• 最小出力エントロピーを計算することも、同様の制限下でNP完全である。
• ホーレボ容量および最小出力エントロピーの両方のNP完全性は、エンタングルメントブレイキングチャネルに制限された量子チャネルの集合に対しても成立する。
• これらの結果は、量子情報理論的量と計算複雑性の間の直接的な関係を示し、基本的な容量測度が計算的に困難であることを示している。
• これらの発見は、古典的複雑性結果を量子ドメインに拡張し、量子情報容量問題が古典的類似物と同程度に困難であることを示しており、量子クラーク問題がQMA完全であることが明らかになった。