[논문 리뷰] On the complexity of Putinar-Vasilescu's Positivstellensatz

Ngoc Hoang Anh, Victor Magron|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 23.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 16인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 기본 컴act 세미대수집합 위에서 비음수 다항식의 합의 제곱(SOS) 표현을 위한 차수 경계를 유도하여 Putinar-Vasilescu의 Positivstellensatz에 대해 다항식 시간 복잡도 경계를 확립한다. 단위 구에서 다항식 최적화에 대해 Moment-SOS 계층의 수렴 속도는 O(ε⁻⁶⁵)임을 증명하며, 이는 이전의 지수적 경계 O(exp(ε⁻ᶜ))보다 크게 향상된다.

ABSTRACT

We provide a new degree bound on the weighted sum-of-squares (SOS) polynomials for Putinar-Vasilescu's Positivstellensatz. This leads to another Positivstellensatz saying that if $f$ is a polynomial of degree at most $2 d_f$ nonnegative on a semialgebraic set having nonempty interior defined by finitely many polynomial inequalities $g_j(x)\\ge 0$, $j=1,\\dots,m$ with $g_1:=L-\\|x\\|_2^2$ for some $L>0$, then there exist positive constants $\\bar c$ and $c$ depending on $f,g_j$ such that for any $\\varepsilon>0$, for all $k\\ge \\bar c \\varepsilon^{-c}$, $f$ has the decomposition \\begin{equation} \\begin{array}{l} (1+\\|x\\|_2^2)^k(f+\\varepsilon)=\\sigma_0+\\sum_{j=1}^m \\sigma_jg_j \\,, \\end{array} \\end{equation} for some SOS polynomials $\\sigma_j$ being such that the degrees of $\\sigma_0,\\sigma_jg_j$ are at most $2(d_f+k)$. Here $\\|\\cdot\\|_2$ denotes the $\\ell_2$ vector norm. As a consequence, we obtain a converging hierarchy of semidefinite relaxations for lower bounds in polynomial optimization on basic compact semialgebraic sets. The complexity of this hierarchy is $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-c})$ for prescribed accuracy $\\varepsilon>0$. In particular, if $m=L=1$ then $c=65$, yielding the complexity $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-65})$ for the minimization of a polynomial on the unit ball. Our result improves the complexity bound $\\mathcal{O}(\\exp(\\varepsilon^{-c}))$ due to Nie and Schweighofer in [Journal of Complexity 23.1 (2007): 135-150].

연구 동기 및 목표

• 다항식 최적화에서 Putinar-Vasilescu의 Positivstellensatz에 대해 다항식 시간 복잡도 경계를 확립하기.
• 공간에 구 조건이 있는 컴팩트 세미대수집합 위에서 비음수 다항식의 합의 제곱(SOS) 표현을 위한 명시적 차수 경계를 도출하기.
• Nie와 Schweighofer의 지수적 수렴 속도 O(exp(ε⁻ᶜ))를 개선하여 다항식 속도 O(ε⁻ᶜ)를 달성하기.
• 단위 구의 경우에 대한 구체적인 수렴 속도 예시를 제공하여 c=65를 도출하기.
• 글로벌 다항식 최적화를 위한 복잡도가 통제된 수렴 계층을 개발하기.

제안 방법

• 가중치를 사용한 합의 제곱(SOS) 표현을 이용하여 Putinar-Vasilescu의 Positivstellensatz에 대한 새로운 차수 경계를 유도한다.
• σⱼ가 최대 차수 2(d_f + k)인 SOS 다항식인 형태의 양의 정의 증명서 (1+‖x‖²)ᵏ(f+ε) = σ₀ + Σσⱼgⱼ를 제안한다.
• 가중치 함수의 다항식 근사와 동차 SOS 다항식을 통한 전역 양의 정의 증명서를 활용한다.
• 비율 분석을 적용하여 필요한 차수 k를 ε에 대한 경계로 제한함으로써 O(ε⁻ᶜ)의 복잡도를 도출한다.
• 레미마 7을 사용하여 차수 및 동차성 조건을 만족하는 동차 SOS 다항식을 구성한다.
• 빙산 제약 조건의 경우(g₁ = xₙ² - ‖x′‖²)를 분석하여 ε에 대한 점근적 등가를 통해 명시적인 상수 c=65를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 세미대수집합에 대해 Putinar-Vasilescu의 Positivstellensatz에서 합의 제곱(SOS) 표현을 위한 최적의 차수 경계는 무엇인가요?
• RQ2 다항식 최적화에서 Moment-SOS 계층의 수렴 속도는 얼마나 빠른가요?
• RQ3 단위 구의 경우에서 수렴 복잡도를 지수적 O(exp(ε⁻ᶜ))에서 다항식적 O(ε⁻ᶜ)로 향상시킬 수 있을까요?
• RQ4 단위 구의 경우에서 복잡도 경계 O(ε⁻ᶜ)의 지수 c의 명시적 값은 얼마인가요?
• RQ5 가중치 함수와 다항식 근사의 점근적 행동은 최종 복잡도 경계에 어떻게 영향을 미치나요?

주요 결과

• 논문은 Putinar-Vasilescu의 Positivstellensatz에 대해 새로운 차수 경계를 확립하여 다항식 최적화를 위한 수렴 계층의 정수형 선형 프로그래밍을 가능하게 한다.
• 모든 ε > 0에 대해, k ≥ c̄ε⁻ᶜ를 만족하는 상수 c̄, c(다항식 f와 gⱼ에 따라 달라짐)가 존재하여 (1+‖x‖²)ᵏ(f+ε) = σ₀ + ΣσⱼgⱫ의 분해가 성립한다.
• 계층의 복잡도는 O(ε⁻ᶜ)이며, 이는 ε⁻¹에 대해 다항식이므로 이전의 지수적 경계 O(exp(ε⁻ᶜ))보다 향상된다.
• 특히 단위 구의 경우(m=1, g₁=1−‖x‖²)에서 지수 c는 65로 증명되며, 이에 따라 복잡도는 O(ε⁻⁶⁵)가 된다.
• 단위 구의 경우 계층의 수렴 속도는 O(k⁻¹/⁶⁵)이며, 이는 다항식 수렴 속도를 확인한다.
• 분석은 가중치 함수와 그 근사의 점근적 등가에 기반하며, 필요한 차수 k에 대한 정확한 경계로 이어진다.