[論文レビュー] On the Complexity of Real Root Isolation

Michael Sagraloff|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 32被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、実数係数の平方因子なし多項式の実根を隔離するための新しい決定的アルゴリズムを提示する。この手法は、近似的なデカルト法を応用し、中間多項式を有界精度で計算することで実現される。整数多項式に対して、ビット複雑度が $\tilde{O}(n^3\tau^2)$ に抑えられ、従来の実用的アルゴリズムより $n$ 倍の改善が達成される。これは、根の隔離の複雑度が係数の大きさや種別ではなく、根の幾何構造に依存することを示している。

ABSTRACT

We introduce a new approach to isolate the real roots of a square-free polynomial $F=\sum_{i=0}^n A_i x^i$ with real coefficients. It is assumed that each coefficient of $F$ can be approximated to any specified error bound. The presented method is exact, complete and deterministic. Due to its similarities to the Descartes method, we also consider it practical and easy to implement. Compared to previous approaches, our new method achieves a significantly better bit complexity. It is further shown that the hardness of isolating the real roots of $F$ is exclusively determined by the geometry of the roots and not by the complexity or the size of the coefficients. For the special case where $F$ has integer coefficients of maximal bitsize $τ$, our bound on the bit complexity writes as $ ilde{O}(n^3τ^2)$ which improves the best bounds known for existing practical algorithms by a factor of $n=deg F$. The crucial idea underlying the new approach is to run an approximate version of the Descartes method, where, in each subdivision step, we only consider approximations of the intermediate results to a certain precision. We give an upper bound on the maximal precision that is needed for isolating the roots of $F$. For integer polynomials, this bound is by a factor $n$ lower than that of the precision needed when using exact arithmetic explaining the improved bound on the bit complexity.

研究の動機と目的

• 実数係数の平方因子なし多項式の実根を隔離するための実用的で正確かつ決定的なアルゴリズムの開発。
• デカルト法や連分数法などの既存の実用的アルゴリズムよりも、実根隔離のビット複雑度を低減すること。
• 根の隔離の複雑度が、係数の種別や大きさではなく、根の幾何構造（特に $\Gamma_F$ と $\Sigma_F$）にのみ依存することを示すこと。
• 正確な算術の代わりに近似的な算術を用いることで、最悪ケースにおいても複雑度の改善が保証されることを示すこと。
• 複雑な根の隔離における漸近的高速法と実用的アルゴリズムの溝を埋め、実根の隔離において近似的に最適な複雑度を達成すること。

提案手法

• アルゴリズムは、各再帰的段階で多項式係数の近似値を、制御されたビット数で用いる修正されたデカルト法を適用する。
• 各区間 $I$ に対して、根の隔離に必要な精度に応じて動的に調整される精度上限 $\rho_I$ を維持する。
• 根が正しく隔離されていることを保証するための認証ステップを実施し、$f_I$ の $\rho_I$-近似 $g$ が正確に1つの符号変化を持つことを確認する。
• 近似値 $\tilde{f}_I$ を必要最小限の精度でのみ計算する再帰的分割戦略を採用し、計算コストを低減する。
• 小さな区間では、変換多項式 $f_I(x) = f(a + w(I)x)$ の先行係数が小さくなるため、近似において次数を低減できることを利用している。
• 計算効率が良く、実用的にデカルトの符号変化則と同等の性能を示す $\mathcal{T}'_{3/2}$-テストに基づく修正された包含判定条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デカルト法における近似的な算術が、実根隔離の最悪ケースビット複雑度を保証的に低減できるか。
• RQ2 実根の隔離の複雑度は、係数の大きさと根の幾何構造のどちらに依存するか。
• RQ3 正確な算術を避けることで、正しさと完全性を保ちつつ複雑度の改善が達成可能か。
• RQ4 近似に必要な精度は、根の分離度と対数的根境界にどのように依存するか。
• RQ5 分割の過程で近似多項式の次数を低減できるか、そしてその結果として顕著な性能向上が得られるか。

主な発見

• 整数係数多項式に対して、本アルゴリズムは最悪ケースでビット複雑度 $\tilde{O}(n^3\tau^2)$ を達成し、従来の実用的アルゴリズムの最良の境界より $n$ 倍の改善を実現した。
• 実根の隔離の複雑度は、係数の種別や大きさに依存せず、$\Gamma_F$ と $\Sigma_F$ で定量化される根の幾何構造にのみ依存する。
• 正確な算術と比較して、近似に必要な最大精度が $n$ 倍低減されており、これが複雑度の改善を説明している。
• Mignotte多項式のような根が近接する多項式では、分割の過程で近似多項式 $\tilde{f}_I$ の次数が減少し、計算コストが著しく低減される。
• 認証ステップの実行時間を、初期区間全体ではなく、隔離区間の間の領域のみを分割することで、ほぼ無視できるほどに短縮できる。
• 本手法は、古典的デカルト法と構造的に類似しているため、実装が容易で実用的であり、プロトタイプ実装では優れた性能を示している。