[論文レビュー] On the Complexity of the Circular Chromatic Number

Hamed Hatami, Ruzbeh Tusserkani|ArXiv.org|Dec 31, 2006

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、グラフの巡回的彩色数を決定する計算複雑性を確立し、彩色数が既知である場合でも、$\chi_c(G) = \chi(G)$ であるかどうかを決定することは、NP困難であることを証明する。さらに、任意の $k \geq 2$ および $n \geq 3$ に対して、$\chi(G) = n$ のとき $\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$ を検証することは、NP完全であることを示し、Xuding Zhuが提起した未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Circular chromatic number, $χ_c$ is a natural generalization of chromatic number. It is known that it is \NP-hard to determine whether or not an arbitrary graph $G$ satisfies $χ(G) = χ_c(G)$. In this paper we prove that this problem is \NP-hard even if the chromatic number of the graph is known. This answers a question of Xuding Zhu. Also we prove that for all positive integers $k \ge 2$ and $n \ge 3$, for a given graph $G$ with $χ(G)=n$, it is \NP-complete to verify if $χ_c(G) \le n- \frac{1}{k}$.

研究の動機と目的

• 彩色数が既知である場合でも、巡回的彩色数が彩色数に等しいかどうかを決定する問題の複雑性を解明すること。
• 彩色数に対する巡回的彩色数の境界を検証する計算上の難易度を調査すること。
• 彩色数が $n$ であるグラフ $G$ に対して、$\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$ かどうかを確認する問題のNP完全性を確立すること。
• 色分け制約を符号化するために、特定の部分グラフを用いたグラフ置換の還元フレームワークを提供すること。

提案手法

• 各辺を、特定のグラフ $H$ のコピーに置き換えることでグラフ $G$ を構築し、関連する有向グラフ $D_c$ が特定の色分け条件のもとでのみ無閉路になるようにする。
• 補題2を用いて、$D_c(H)$ が無閉路であるのは、置換された辺の端点が $\{0,1,2\}$ の中で異なる色をとるときのみであることを示し、3彩色問題への還元を可能にする。
• $a$ および $b$ という2つの指定された頂点が異なる色を持つ場合に限り、$(kn-1,k)$-色分けが存在するようなグラフ $K$ を定義する。
• $G' \sqcup K_n$ の辺を $K$ のコピーに置き換えることで $G$ を構築し、$\chi(G) = n$ であり、$G$ の $kn-1$-彩色可能性と $(kn-1,k)$-色分けの存在が関連づけられることを保証する。
• 補題Aを用いて、$D_c(G)$ の無閉路性が $\chi_c(G) < p/q$ と同値であることを示し、これにより巡回的彩色数の境界への還元が可能になる。
• 定理A（3彩色対5彩色のNP困難性）を適用して、決定問題のNP困難性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 彩色数 $\chi(G)$ が与えられているとき、$\chi_c(G) = \chi(G)$ かどうかを決定することはNP困難か？
• RQ2 固定された $n \geq 3$ に対して、$\chi(G) = n$ かつ $k \geq 2$ のとき、$\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$ かどうかを決定することはNP完全か？
• RQ3 巡回的彩色数は、多項式時間内で彩色数に対してタイトに境界づけられるか？
• RQ4 色分け有向グラフ $D_c$ のどのような構造的性質が、$\chi_c(G) < p/q$ であるかどうかを決定するか？

主な発見

• 彩色数 $\chi(G)$ が既知である場合でも、$\chi_c(G) = \chi(G)$ かどうかを決定することはNP困難であることが示され、Xuding Zhuの問いに答えている。
• すべての整数 $k \geq 2$ および $n \geq 3$ に対して、$\chi(G) = n$ のとき $\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$ を検証することはNP完全である。
• $G'$ の辺を $H$ のコピーに置き換えたことで構築されたグラフ $G$ に対して、$\chi_c(G) < 4$ であることは、$G'$ が3彩色可能であることと同値である。
• 構築されたグラフ $G$ に $(kn-1,k)$-色分けが存在することは、$\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$ であることと同値であり、この条件は $G'$ の $kn-1$-彩色可能性と関連している。
• 構築に用いられるグラフ $K$ は、$c(a) \neq c(b)$ である場合に限り $(kn-1,k)$-色分けが存在し、これが還元において不可欠である。
• $D_c(G)$ の無閉路性（$(p,q)$-色分け $c$ に対して）は $\chi_c(G) < p/q$ と同値であり、これは巡回的彩色数を特徴付けるために用いられている。