[論文レビュー] On the Complexity of the F5 Gröbner basis Algorithm

Magali Bardet, Jean‐Charles Faugère+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 23被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、変数が同時ノイザー位置にあり、一般の場合におけるフラジェールのF5グレブナー基底アルゴリズムの複雑さを分析し、多項式の数と演算回数のタイトな上限を提示する。標準的ガウス消去法を用いたF5は、中程度から高次の多項式系において、従来の行列削減法を上回ることを示しており、特にストラッセンの行列乗算法を用いることで、変数の数が増えるほど性能向上が指数関数的に増大する。

ABSTRACT

We study the complexity of Gröbner bases computation, in particular in the generic situation where the variables are in simultaneous Noether position with respect to the system. We give a bound on the number of polynomials of degree $d$ in a Gröbner basis computed by Faugère's $F_5$ algorithm~(Fau02) in this generic case for the grevlex ordering (which is also a bound on the number of polynomials for a reduced Gröbner basis, independently of the algorithm used). Next, we analyse more precisely the structure of the polynomials in the Gröbner bases with signatures that $F_5$ computes and use it to bound the complexity of the algorithm. Our estimates show that the version of~$F_5$ we analyse, which uses only standard Gaussian elimination techniques, outperforms row reduction of the Macaulay matrix with the best known algorithms for moderate degrees, and even for degrees up to the thousands if Strassen's multiplication is used. The degree being fixed, the factor of improvement grows exponentially with the number of variables.

研究の動機と目的

• 変数が同時ノイザー位置にあり、一般の場合におけるF5アルゴリズムの複雑さを分析すること。
• grevlex順序でF5が計算するグレブナー基底における次数dの多項式の数を上限づけること。
• 標準的ガウス消去法を用いたF5の計算複雑度を推定し、行列削減技術と比較すること。
• 特に高次および高変数系において、F5が従来手法を上回る性能向上を示す理由を調査すること。
• 暗号応用などの実用的応用におけるF5の効率性の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 著者らは、F5の計算におけるシグネチャの構造を用いて、グレブナー基底に含まれる次数dの多項式の数に対する上限を導出する。
• F5で用いられる行列のスパarsityおよび削減構造、特にトップ削減とフル削減に注目して分析する。
• マカウレイ行列に対するガウス消去法に必要な演算回数をモデル化することで複雑度を推定し、行列乗算の指数ωを組み込む。
• システムが同時ノイザー位置にあることを仮定することで、正則性のインデックスバウンドが成立することを保証する。
• トップ削減とフル削減のF5バリアントを比較し、フル削減がよりスパースな行列を生成し、性能が優れていることを示す。
• 中間多項式の次数に対するマカウレイの上限を用いて、漸近的複雑度推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の場合において、grevlex順序でF5が計算するグレブナー基底における次数dの多項式の最大数は何か？
• RQ2 大規模な次数を持つ多項式系において、F5の複雑度は標準的行列削減技術と比べてどのように異なるか？
• RQ3 ストラッセンの行列乗算アルゴリズムをF5に適用した場合、性能にどのような影響を与えるか？
• RQ4 変数の数が増えるにつれて、なぜフル削減バージョンのF5がトップ削減バージョンを上回るのか？
• RQ5 F5における行列のスパarsityは、密度行列演算と比較して、計算コストをどの程度低減するのか？

主な発見

• F5が計算するグレブナー基底における次数dの多項式の数は、(δ^m - 1)/(δ - 1) で上限づけられる。ここでδは入力多項式の平均次数である。
• 固定された次数δに対して、F5の性能向上は変数数nが増えるにつれて指数関数的に増大する。
• 標準的ガウス消去法を用いたF5は、中程度の次数では行列削減法を上回り、ストラッセンの行列乗算法を適用すれば、次数が数千に達する場合でさえも同様の優位性を示す。
• フル削減バージョンのF5は、スパースな中間行列を生成するため、トップ削減バージョンよりも効率的であり、特にnが増加する際の性能向上が顕著である。
• 理論的上限と実験的結果との間の開きは、実際の非一様な削減パターンと行列のスパarsityに起因するとされる。
• 複雑度推定はnに関して漸近的に指数関数的であり、次数δのシステムでは指数がω(n - ℓ)となる。これは、解の集合がゼロ次元の場合、解の集合のサイズに関して多項式的である。