[論文レビュー] On the constants of the Bohnenblust-Hille inequality and Hardy--Littlewood inequalities

Gustavo Ara Ujo, Daniel Pellegrino|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、一般化されたBohnenblust-Hille不等式における定数の最良既知の推定値を改善し、それらの改良を応用してHardy-Littlewood不等式のより鋭い境界を導出する。驚くべきことに、複素数スカラーおよび十分に大きな $ p $ に対して、Hardy-Littlewood不等式における最適定数が $ p $ に依存しない部分多項式的でない表現によって一様に有界であることが示された。これは、両不等式の最適定数が等しい可能性を示唆し、それらの $ p $-独立性についての疑問を提起する。

ABSTRACT

In this paper, among other results, we improve the best known estimates for the constants of the generalized Bohnenblust-Hille inequality. These enhancements are then used to improve the best known constants of the Hardy--Littlewood inequality; this inequality asserts that for a positive integer $m\geq2$ with $2m\leq p\leq\infty$ and $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$ there exists a constant $C_{m,p}^{\mathbb{K}}\geq1$ such that, for all continuous $m$--linear forms $T:\ell_{p}^{n} imes\cdots imes\ell_{p}^{n} ightarrow\mathbb{K}$, and all positive integers $n$,% \[ \left( \sum_{j_{1},...,j_{m}=1}^{n}\left\vert T(e_{j_{1}},...,e_{j_{m}% }) ight\vert ^{\frac{2mp}{mp+p-2m}} ight) ^{\frac{mp+p-2m}{2mp}}\leq C_{m,p}^{\mathbb{K}}\left\Vert T ight\Vert , \] and the exponent $\frac{2mp}{mp+p-2m}$ is sharp. In particular, we show that for $p > 2m^{3}-4m^{2}+2m$ the optimal constants satisfying the above inequality are dominated by the best known estimates for the constants of the $m$-linear Bohnenblust--Hille inequality. More precisely if $γ$ denotes the Euler--Mascheroni constant, considering the case of complex scalars as an illustration, we show that% \[ C_{m,p}^{\mathbb{C}}\leq\prod\limits_{j=2}^{m}Γ\left( 2-\frac{1}% {j} ight) ^{\frac{j}{2-2j}}

研究の動機と目的

• 一般化されたBohnenblust-Hille不等式における定数の最良既知の推定値を改善すること。
• これらの改良された推定値を応用して、Hardy-Littlewood不等式における定数のより鋭い境界を導出すること。
• 十分に大きな $ p $ に対して、Hardy-Littlewood不等式の最適定数が $ p $ に依存しないかどうかを調査すること、特に複素数の場合に焦点を当てる。
• Hardy-Littlewood不等式とBohnenblust-Hille不等式の最適定数が一致するかどうかを検討すること。

提案手法

• 著者らは、多重線形Hardy-Littlewood不等式と古典的Bohnenblust-Hille不等式（複数の指数を用いる）に基づく補間技術を用いる。
• 複素数補間と多重線形Hölder不等式を適用して、混合ノルム推定値の境界を導出する。
• この手法は、$ (\text{定数})^{m-1} $ の境界に関連する指数タプル $ (1,2,...,2) $ と、古典的Bohnenblust-Hille指数 $ \left(\frac{2m}{m+1}, \dots, \frac{2m}{m+1}\right) $ の間で補間することを含む。
• 複素数スカラーの推定値を精緻化するために、Steinhaus変数に対するKhinchine不等式を用い、$ \sqrt{2} $ を $ \frac{2}{\sqrt{\pi}} $ に置き換える。
• 指数タプルの凸包を活用し、[1]における多重線形補間技術を適用して、$ p $ 全体にわたる一様な境界を導出する。
• $ \epsilon \to 0 $ の極限を取ることで、$ p > 2m^3 - 4m^2 + 2m $ の場合に $ p $ に依存しない一様な境界が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $ m $ および $ \mathbb{K} $ に対して、Hardy-Littlewood不等式とBohnenblust-Hille不等式の最適定数は同一か？
• RQ2 十分に大きな $ p $ に対して、Hardy-Littlewood不等式の最適定数 $ C_{m,p}^{\mathbb{K}} $ は $ p $ に依存しないか？
• RQ3 Bohnenblust-Hille定数の部分多項式的成長が、$ p $-独立の境界を持つHardy-Littlewood不等式へと拡張可能か？
• RQ4 複素数スカラーに対する新しい境界が $ p $ に依存しないことから、両不等式間により深い構造的同型性があるのだろうか？

主な発見

• 複素数スカラーおよび $ p > 2m^3 - 4m^2 + 2m $ の場合、最適定数 $ C_{m,p}^{\mathbb{C}} $ は $ \prod_{j=2}^{m} \Gamma\left(2 - \frac{1}{j}\right)^{\frac{j}{2-2j}} $ によって上から抑えられ、これは $ p $ に依存しない。
• この境界は以前の $ p $-依存の推定値よりも鋭く、$ \gamma $ をEuler-Mascheroni定数として、漸近的に $ m^{(1 - \gamma)/2} $ よりも小さい。
• この境界 $ \prod_{j=2}^{m} \Gamma\left(2 - \frac{1}{j}\right)^{\frac{j}{2-2j}} $ は、複素数Bohnenblust-Hille定数の最良既知の推定値と一致する。
• 著者らは、$ p $ が大きい場合、Hardy-Littlewood定数がBohnenblust-Hille定数に支配されることを示し、それらの最適値が等しい可能性を示唆する。
• この結果は驚くべきものである。なぜなら、元の不等式の指数が $ p $ に依存しているにもかかわらず、新しい境界には $ p $ に依存しないからである。
• 解析から、$ p $ が十分に大きい場合、特に複素数の場合、Hardy-Littlewood不等式の最適定数が $ p $ に依存しない可能性があると示唆される。