[論文レビュー] On the construction of dense lattices with a given automorphism group

Philippe Gaborit, Gilles Zémor|ArXiv.org|May 3, 2006

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、リーク＝スローヌの構成Aを用いて二重巡回符号を通じて、サイズnの指定された自己同型群を備えたℝⁿ内の密集格子を構成的・明示的に生成する手法を提示する。格子の密度は少なくとも0.064n⋅2⁻ⁿに達し、定数倍の違いを除いて、既知の最良の漸近的下界と一致する。アルゴリズムの計算量はexp(n log n)である。

ABSTRACT

We consider the problem of constructing dense lattices of R^n with a given automorphism group. We exhibit a family of such lattices of density at least cn/2^n, which matches, up to a multiplicative constant, the best known density of a lattice packing. For an infinite sequence of dimensions n, we exhibit a finite set of lattices that come with an automorphism group of size n, and a constant proportion of which achieves the aforementioned lower bound on the largest packing density. The algorithmic complexity for exhibiting a basis of such a lattice is of order exp(nlogn), which improves upon previous theorems that yield an equivalent lattice packing density. The method developed here involves applying Leech and Sloane's construction A to a special class of codes with a given automorphism group, namely the class of double circulant codes.

研究の動機と目的

• ℝⁿにおける指定された非自明な自己同型群を備えた密集格子を構築すること。
• cn⋅2⁻ⁿ（c ≈ 0.064）の既知の最良の漸近的下界に一致する格子密度を達成すること。
• 構成法が有効であり、計算的に実行可能であること。計算量はexp(n log n)であること。
• 二重巡回符号のような代数的構造を活用することで、自己同型群の性質を保ちながら密度を向上させること。
• 構造的代数的構成法が、非構造的確率的手法と同等の格子密度性能を達成できることを示すこと。

提案手法

• リークとスローヌの構成Aを用い、𝔽ₚⁿ上の符号をℝⁿ内の格子に変換する。
• 自己同型群のサイズがnに固定されるクラスである二重巡回符号に探索を制限する。
• 二部グラフ解析を用いた確率的補題を用い、低ノルムの双対符号ベクトルの数を評価する。
• ユークリッド球の体積とスターリングの近似を用いて、符号の最小ノルムと格子密度の関係を推定する。
• パラメータt = (2eπ)⁻¹の選択により係数e²π/(2p)を最小化することで、符号の存在確率を最適化する。
• 体積と行列式の関係を用いて、導出された格子密度がcn⋅2⁻ⁿの下界と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズnの指定された自己同型群を備えた密集格子を体系的に構築可能か？
• RQ2 構造的符号を用いて、漸近的ミンコフスキー＝フラウカ型の下界cn⋅2⁻ⁿを有効に実現可能か？
• RQ3 二重巡回符号に制限することで、ランダム格子構成と比較して顕著な計算量の改善が得られるか？
• RQ4 格子の自己同型群を活用することで、非構造的構成法を上回る密度向上が可能か？
• RQ5 cn⋅2⁻ⁿが有効な格子密度下界として成立する最小の定数cは何か？

主な発見

• 本稿では、密度が少なくとも0.064n⋅2⁻ⁿの格子を構築しており、定数倍の違いを除いて、既知の最良の漸近的下界と一致する。
• 長さnの𝔽ₚ上での二重巡回符号の定数倍の割合が、この密度下界を達成する格子を生成する。pはpⁿ ≈ 2ⁿを満たすように選ばれる。
• このような格子を構築するための計算量はexp(n log n)であり、従来の無効な証明に比べ顕著に改善されている。
• 構成法は符号の自己同型群を保ち、サイズが少なくともnの自己同型群を備えた格子を生成する。
• c < (2 − 1/e)/(2 + e²π) ≈ 0.064の場合、十分大きなnに対してノルム≤wの符号ベクトルの存在確率が1未満になることが保証される。
• 構成Aから導かれる格子密度はボールによる理論的下界と一致しており、本手法の有効性が裏付けられる。