[논문 리뷰] On the continuity of lyapunov exponents of random walks in random potentials

Thị Thu Hiền Lê|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 21.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $d \geq 3$ 인 $\mathbb{Z}^d$ 위에서 i.i.d. 비음수 랜덤 포텐셜에 대한 단순 랜덤 워크의 고착 및 평균화된 리아푸노프 지수의 연속성을 잠재 분포의 약한 수렴에 대해 확립한다. 확률적 쌍화와 경로 측도 조건화를 이용하여, 포텐셜 법이 약하게 수렴함에 따라 리아푸노프 지수가 수렴함을 증명하며, 이는 첫 번째 통과 퍼콜레이션에서의 연속성 결과를 랜덤 포텐셜 내 랜덤 워크로 확장한다.

ABSTRACT

We consider a simple random walk in an i.i.d. non-negative potential on the d-dimensional integer lattice, $d\geq 3$. We study the quenched Lyapunov exponents, and present a probabilistic proof of its continuity when the potentials converge in distribution.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 포텐셜의 법에 대해 고착 및 평균화된 리아푸노프 지수의 연속성을 확립하기 위해.
• 첫 번째 통과 퍼콜레이션에서 알려진 연속성 결과를 랜덤 포텐셜 내 랜덤 워크의 맥락으로 확장하기 위해.
• 고착 및 평균화된 경로 측도 하에서 워크의 구배 행동을 분석하여 리아푸노프 지수의 극한을 제어하기 위해.
• 분석적 또는 스펙트럼 방법을 피하고 확률적 증명을 통해 연속성의 증명을 제공하기 위해.

제안 방법

• 로그 모멘트 생성 함수를 통한 리아푸노프 지수 정의를 위해 고착 및 평균화된 경로 측도 $\hat{P}_{x,\omega}^y$ 및 $\hat{\mathbb{P}}_x^y$ 를 사용한다.
• 존슨의 부등식과 모멘트 경계를 적용하여 로그 기대값 $a(x,y,\omega)$ 및 $b(x,y)$ 를 제어한다.
• 원래 포텐셜 법의 수렴을 제어하기 위해 절단된 포텐셜 $^tF$ 및 $^t\hat{F}$ 를 도입한다.
• 포텐셜의 법이 약하게 수렴함에 따라 $\beta_{F_n}$ 와 $\beta_{^tF_n}$ 를 비교하기 위해 쌍화 접근법을 사용하며, $\mathbb{E}[\exp(-U_t(0))] \to 1$ 이 $t \to \infty$ 일 때 성립한다는 사실을 활용한다.
• 형태 정리와 모멘트 경계를 사용하여 $\mathbb{\hat{E}}_{0,^tF}^{nx}(H(nx))$ 를 $b(0,nx,^tF)$ 를 통해 유계로 제어한다.
• 포텐셜의 확률적 순서에 따라 $\beta_F$ 와 $\alpha_F$ 가 단조 증가함을 이용하여 극한을 끼워넣고 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 i.i.d. 포텐셜의 분포 $F$ 에 대해 고착 리아푸노프 지수 $\alpha_F(x)$ 는 연속적으로 의존하는가?
• RQ2 포텐셜 법의 약한 수렴에 대해 평균화 리아푸노프 지수 $\beta_F(x)$ 는 연속적으로 변하는가?
• RQ3 스펙트럼 방법을 피하고 경로 측도 쌍화 및 모멘트 추정을 통해 리아푸노프 지수의 연속성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 포텐셜 법의 수렴을 제어하기 위해 절단과 쌍화가 수행하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 고착 리아푸노프 지수 $\alpha_F(x)$ 는 잠재 법의 약한 수렴 $F_n \to F$ 에 대해 $\mathscr{D}_1$ 에서 연속적이다.
• 평균화 리아푸노프 지수 $\beta_F(x)$ 는 $d \geq 3$ 에서 약한 수렴 $F_n \to F$ 에 대해 연속적이며, $d=2$ 에서는 추가로 어떤 $\lambda > 0$ 에 대해 $F(\lambda) = 0$ 이 성립한다는 조건이 필요하다.
• 모든 $x \in \mathbb{Z}^d$ 에 대해, $F_n \to F$ 가 약하게 수렴하고 $F_n$ 이 유한한 평균을 가진 법에 의해 아래로 유계이면 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} b(0,nx, F_n) = \beta_F(x)$ 이다.
• 증명은 점점 커지는 $t$ 에 대해 $\beta_{^tF_n} \to \beta_F$ 가 되도록 절단된 포텐셜의 수열 $^tF_n$ 을 구성하는 데 의존하며, $\mathbb{E}[\exp(-U_t(0))] \to 1$ 이라는 사실을 활용한다.
• 핵심 부등식 $\mathbb{\hat{E}}_{0,^tF}^{nx}(H(nx)) \leq \frac{D}{-\ln \mathbb{E}[\exp(-W_t(0))]} b(0,nx,^tF)$ 는 조건부 측도 하에서 도달 시간을 제어한다.
• 최종 결과인 $\liminf_{n \to \infty} \beta_{F_n} \geq \beta_F$ 는 $t \to \infty$ 를 취하고 단조성 및 끼워넣기 논법을 사용하여 확립된다.