[論文レビュー] On the convergence of the hp-BEM with quasi-uniform meshes for the electric field integral equation on polyhedral surfaces

Alex Bespalov, Norbert Heuer|ArXiv.org|Oct 20, 2008

Numerical methods in engineering参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一様メッシュとRaviart-Thomas $H({\mathrm{div}})$-適合有限要素を用いて、区分的平面多面体表面における電場積分方程式（EFIE）の $hp$-境界要素法（BEM）の準最適収束を確立する。主な貢献は、多項式次数に関して準安定性を示す新しい $\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv})$-適合 $p$-補間作用素の構築と解析であり、低解像度の解の正則性が低い状況下でも $hp$-バージョンの収束を証明可能にする。

ABSTRACT

In this paper the hp-version of the boundary element method is applied to the electric field integral equation on a piecewise plane (open or closed) Lipschitz surface. The underlying meshes are supposed to be quasi-uniform. We use H(div)-conforming discretisations with quadrilateral elements of Raviart-Thomas type and establish quasi-optimal convergence of hp-approximations. Main ingredient of our analysis is a new H^{-1/2}(div)-conforming p-interpolation operator that assumes only H^r \cap H^{-1/2}(div)-regularity (r > 0) and for which we show quasi-stability with respect to polynomial degrees.

研究の動機と目的

• 区分的平面多面体表面における電場積分方程式（EFIE）の $hp$-BEMの収束を、一様メッシュを用いて確立すること。
• 多面体表面の端や隅の特異性によって生じる解の正則性の低さという課題に対処すること。
• 多項式次数 $p$ に関して準安定性を保証する $\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv}}$-適合補間作用素の開発。
• $p$-バージョンを越えて、$h$-バージョンを特殊ケースとして含む完全な $hp$-バージョンへの収束解析の拡張。
• 非アフィンな四角形および曲線メッシュにおける $hp$-BEM のエネルギーノルムにおける事前誤差推定の基礎を提供すること。

提案手法

• 解析は、RumseyのEFIEの変分表現とエネルギー空間におけるHelmholtz分解に基づく。
• 参照四角形要素上に新しい $\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv}}$-適合補間作用素 $\Pi_p^{\mathrm{div},-1/2}$ を構築する。
• 作用素は、内積の明示的表現を用いた、発散成分への $\tilde{H}^{-1/2}$-射影として定義される。
• 先行研究で得られた離散インフラ-サブ条件を用いて、多項式次数に関する補間作用素の安定性を証明する。
• スケーリングの議論を用いて、多項式次数 $p$ に対して一様な境界を導出する。
• 離散的分解が $hp$-BEMフレームワークにおける準最適性に必要な仮定を満たすことを示すことにより、収束結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様メッシュを用いた $hp$-BEM は、正則性が低い解を有する多面体表面における EFIE に対して、準最適収束を達成できるか？
• RQ2 多項式次数 $p$ の増加に対しても安定性を保つ $\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv}}$-適合補間作用素を構築することは可能か？
• RQ3 Helmholtz分解フレームワークをどのように変更すれば、一様メッシュを用いた $hp$-バージョンにおいて離散的直交性と安定性を確保できるか？
• RQ4 古典的Raviart-Thomas作用素が多面体表面で不安定であるのを、非古典的補間作用素が克服できるか？
• RQ5 収束結果は、非アフィン四角形および曲線メッシュへと拡張可能か？

主な発見

• 一様メッシュを用いた $hp$-BEM は、区分的平面多面体表面における EFIE に対して、準最適収束を示す。
• 収束速度は、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\left(\frac{h}{p}\right)^{\min\{s^*,\frac{1}{2}\}-\varepsilon}$ で有界であり、$s^*$ は解の正則性指数である。
• 提案された $\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv}}$-適合補間作用素 $\Pi_p^{\mathrm{div},-1/2}$ は、多項式次数 $p$ に関して準安定性を示す。
• 解析は、事前に[9]で確立された離散インフラ-サブ条件に依存しており、エネルギーノルムにおける補間の安定性を保証する。
• 収束結果は、アフィンおよび非アフィン四角形要素、ならびに凸および曲線要素に対しても成り立つ。
• 本手法により、[8]における $p$-バージョンの収束結果が完全な $hp$-バージョンへと拡張され、同一の収束レート構造が維持される。