[論文レビュー] On the Cost of Deciding Consensus

Vincent D. Blondel, Alex Olshevsky|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2012

Distributed systems and fault tolerance被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確率的行列集合におけるコンセンサスのための必要十分な組合せ的基準として、回避集合条件を導入し、コンセンサスのアルゴリズム的決定可能性を可能にしている。また、P = NP でない限り、多項式時間ではコンセンサスを決定できないことを証明しており、チェック可能な条件が存在するにもかかわらず、問題の計算的困難性を確立している。

ABSTRACT

A set of stochastic matrices ${\cal P}$ is a consensus set if for every sequence of matrices $P(1), P(2), \ldots$ whose elements belong to ${\cal P}$ and every initial state $x(0)$, the sequence of states defined by $x(t) = P(t) P(t-1) \cdots P(1) x(0)$ converges to a vector whose entries are all identical. In this paper, we introduce an set for compact sets of matrices and prove in our main theorem that this explicit combinatorial condition is both necessary and sufficient for consensus. We show that several of the conditions for consensus proposed in the literature can be directly derived from the avoiding set condition. The avoiding set condition is easy to check with an elementary algorithm, and so our result also establishes that consensus is algorithmically decidable. Direct verification of the avoiding set condition may require more than a polynomial time number of operations. This is however likely to be the case for any consensus checking algorithm since we also prove in this paper that unless $P=NP$, consensus cannot be decided in polynomial time.

研究の動機と目的

• 確率的行列集合がコンセンサスを達成するかどうかを特定する計算可能で組合せ的な条件を同定すること。
• この条件が、すべての初期状態および行列列に対して、コンセンサスの必要十分条件であることを証明すること。
• 既存の文献におけるコンセンサス条件が、回避集合条件から導出可能であることを示すこと。
• コンセンサスの決定の計算複雑性を分析し、多項式時間で解けるとは考えにくいことを示すこと。

提案手法

• 著者らは、コンパクトな確率的行列集合の組合せ的性質として、回避集合条件を定義している。
• すべての行列列が集合から抽出される場合に限り、コンセンサスへの収束が発生することを証明している。
• 方法としては、確率的行列の性質およびその遷移構造を用いて、行列積の長期的挙動を分析している。
• 回避集合条件を検証するための基本的アルゴリズムを構築しており、これによりアルゴリズム的決定が可能になっている。
• 計算の困難性結果を用いて複雑性分析を行い、コンセンサスの決定がNP困難であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限でチェック可能な組合せ的条件は、確率的行列集合におけるコンセンサスを特徴づけることができるか？
• RQ2 回避集合条件は、既存の十分条件を包含または統合できるか？
• RQ3 コンセンサスはアルゴリズム的に決定可能か？ その計算複雑性はいかほどか？
• RQ4 コンセンサスは多項式時間で決定可能か、それともNP困難か？

主な発見

• 回避集合条件は、任意のコンパクトな確率的行列集合において、コンセンサスの必要十分条件である。
• この条件は有限で基本的なアルゴリズムによりチェック可能であり、コンセンサスのアルゴリズム的決定可能性を実現している。
• 文献に既に提案されていたすべてのコンセンサス条件は、回避集合条件の特別な場合として導出可能である。
• P = NP でない限り、コンセンサスは多項式時間で決定できないことから、問題のNP困難性が確立されている。