[论文解读] On the Cross-Correlation of a $p$-ary m-Sequence and its Decimated Sequences by $d=\frac{p^n+1}{p^k+1}+\frac{p^n-1}{2}$

Sung-Tai Choi, Ji-Youp Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文推导了与 p 元 m 序列及其由 d = (pⁿ+1)/(pᵏ+1) + (pⁿ−1)/2 定义的降采样序列相关的指数和 S(a,b) 的取值分布，其中 p ≡ 3 mod 4，n 为奇数，且 k|n。利用该结果，构造了一个周期为 N = pⁿ−1、族大小为 pⁿ 的序列族，其互相关幅度上界为 (pᵏ+1)√N/2，并确定了对应维数为 2n 的 𝔽ₚ 上循环码的重量分布，推广了 Xia 的先前结果。

ABSTRACT

In this paper, for an odd prime $p$ such that $p\equiv 3\bmod 4$, odd $n$, and $d=(p^n+1)/(p^k+1)+(p^n-1)/2$ with $k|n$, the value distribution of the exponential sum $S(a,b)$ is calculated as $a$ and $b$ run through $\mathbb{F}_{p^n}$. The sequence family $\mathcal{G}$ in which each sequence has the period of $N=p^n-1$ is also constructed. The family size of $\mathcal{G}$ is $p^n$ and the correlation magnitude is roughly upper bounded by $(p^k+1)\sqrt{N}/2$. The weight distribution of the relevant cyclic code $\mathcal{C}$ over $\mathbb{F}_p$ with the length $N$ and the dimension ${ m dim}_{\mathbb{F}_p}\mathcal{C}=2n$ is also derived. Our result includes the case in \cite{Xia} as a special case.

研究动机与目标

• 确定特定降采样因子 d 下指数和 S(a,b) = ∑ₓ∈𝔽ₚₙ χ(ax + bxᵈ) 的取值分布。
• 构造一个周期为 N = pⁿ−1 且具有低互相关特性的序列族 𝒢。
• 推导 𝔽ₚ 上长度为 N、维数为 2n 的循环码 𝒞 的重量分布。
• 推广 Xia 对 d 的特例所获得的互相关与重量分布结果。
• 建立所构造序列族中最大互相关幅度的上界。

提出的方法

• 利用有限域上二次型的理论分析指数和 S(a,b)，特别关注相关对称矩阵的秩与结构。
• 应用伽罗瓦理论与高斯和的性质，特别是利用勒让德符号和 ℚ(ω) 的二次子域 ℚ(√p*)，其中 ω = e²πi/p。
• 使用迹函数 tr₁ⁿ(⋅) 和标准加法特征 χ(⋅) = ω^{tr₁ⁿ(⋅)}，将互相关表达为 S(a,b) 的形式。
• 通过变换 μ(S(a,b)) = ∑_{l=1}^{p−1} σ_l(S(a,b)) 计算循环码 𝒞 中码字的汉明重量。
• 通过计算 S(a,b) 每个不同取值下的 μ(S(a,b))，利用伽罗瓦群对 ω 和 √p* 的作用，推导出重量分布。
• 通过分析 S(a,b) 值的模长并应用指数和的已知界，建立互相关的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 d = (pⁿ+1)/(pᵏ+1) + (pⁿ−1)/2，指数和 S(a,b) = ∑ₓ∈𝔽ₚₙ χ(ax + bxᵈ) 的取值分布是什么？
• RQ2 由该降采样构造的序列族 𝒢 中，最大互相关幅度是多少？
• RQ3 长度为 pⁿ−1、维数为 2n 的 𝔽ₚ 上循环码 𝒞 的重量分布是什么？
• RQ4 所推导结果与 Xia 对 d = (pⁿ+1)/(p+1) + (pⁿ−1)/2 的早期工作有何关联？
• RQ5 尽管降采样因子 d 的表达式复杂，S(a,b) 的取值分布是否仍可高效计算？

主要发现

• 对于 d = (pⁿ+1)/(pᵏ+1) + (pⁿ−1)/2，S(a,b) 的取值分布被完全确定，包含四个不同的取值：0，±j p^{n/2}，±j (pᵏ+1)/2 p^{n/2}，以及 pⁿ。
• 序列族 𝒢 的族大小为 pⁿ，且最大互相关幅度的上界为 (pᵏ+1)√N/2，其中 N = pⁿ−1。
• 循环码 𝒞 的重量分布被显式计算：w₀ = 1，w_{p^{n-1}(p−1)} = (pⁿ−1)(pⁿ−2p^{n−k}+1)，w_{(p−1)(p^{n−1}+½p^{(n+k)/2−1})} = (pⁿ−1)(p^{n−k}−p^{(n−k)/2})，w_{(p−1)(p^{n−1}−½p^{(n+k)/2−1})} = (pⁿ−1)(p^{n−k}+p^{(n−k)/2})。
• 通过伽罗瓦群对高斯和的作用以及 μ 映射下 S(a,b) 的迹，推导出重量分布。
• 该结果推广了 Xia 的工作，当 k=1 时，得到与 Xia 论文中相同的 d 和结果。
• 指数和 S(a,b) 在非零取值下达到最大模长 (pᵏ+1)/2 × p^{n/2}，该值直接决定了相关性的上界。