[논문 리뷰] On the definition of entanglement entropy in lattice gauge theories

Sinya Aoki, Takumi Iritani외 4명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 15.

Quantum many-body systems참고 문헌 39인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 라티스 게이지 이론에서 물리적 게이지 불변 힐버트 공간을 더 큰 게이지 비불변 링크 변수 힐버트 공간으로 확장함으로써, 감마-연결 엔트로피의 새로운 정의를 제안한다. 이는 임의의 영역 $V$와 그 보완 $ar{V}$에 대해 텐서곱 분해를 복원함으로써 표준적인 엔트로피 계산을 가능하게 하며, 복제 공식을 도출하고 $Z_N$ 게이지 이론에서 위상적 상태의 엔트로피를 엄밀히 계산한다. 이로써 유한한 비아벨 군의 경우 엔트로피는 $ olimits\log|G|$와 일치하며, 강한 하위가역성과 같은 표준 성질이 성립함을 확인한다.

ABSTRACT

We focus on the issue of proper definition of entanglement entropy in lattice gauge theories, and examine a naive definition where gauge invariant states are viewed as elements of an extended Hilbert space which contains gauge non-invariant states as well. Working in the extended Hilbert space, we can define entanglement entropy associated with an arbitrary subset of links, not only for abelian but also for non-abelian theories. We then derive the associated replica formula. We also discuss the issue of gauge invariance of the entanglement entropy. In the $Z_N$ gauge theories in arbitrary space dimensions, we show that all the standard properties of the entanglement entropy, e.g. the strong subadditivity, hold in our definition. We study the entanglement entropy for special states, including the topological states for the $Z_N$ gauge theories in arbitrary dimensions. We discuss relations of our definition to other proposals.

연구 동기 및 목표

• 게이지 불변 힐버트 공간의 분해 불가능성으로 인해 라티스 게이지 이론에서 엔트로피를 정의하는 데 발생하는 기초적 문제를 해결하기 위해.
• 아벨 및 비아벨 게이지 이론 모두에 적용 가능한 일관되고 일반적인 엔트로피 정의를 제공하기 위해, 특히 임의의 링크 부분집합에 대해 적용 가능하도록 하기 위해.
• 제안된 정의 하에서 표준 엔트로피 성질(강한 하위가역성 등)이 성립하는지 확인하기 위해.
• 임의의 차원에서 $Z_N$ 게이지 이론의 위상적 상태에 대한 엔트로피를 정확한 해석적 결과로 계산하기 위해.
• 게이지 고정이 엔트로피 계산에 미치는 영향을 명확히 하여, 경계에서의 게이지 고정이 물리적으로 비합리한 결과를 초래할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 임의의 영역 $V$와 그 보완 $ar{V}$에 대해 텐서곱 분해를 복원하기 위해, 물리적 게이지 불변 힐버트 공간을 전체(게이지 비불변) 링크 변수 힐버트 공간으로 확장한다.
• 확장된 힐버트 공간에서 $ar{V}$의 링크 변수를 적분하여 영역 $V$의 감소 밀도 행렬을 정의한다.
• 결과로 얻어진 감소 밀도 행렬의 본드-바이어널 엔트로피로 엔트로피를 계산한다.
• 확장된 힐버트 공간 프레임워크 내에서 엔트로피를 효율적으로 계산하기 위한 복제 공식을 유도한다.
• $Z_N$ 게이지 이론에서 게이지 변환의 고유상태를 사용하여 힐버트 공간를 표현함으로써 특수 상태에 대한 엔트로피를 명시적으로 계산할 수 있도록 한다.
• 군 표현 이론을 활용하여 $Z_N$ 및 비아벨 $G$ 게이지 이론의 위상적 상태에 대해 형식을 적용하고, $p(\pi) = |\psi(\pi)|^2$ 및 이를 통해 유도된 엔트로피를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 물리적 힐버트 공간이 텐서곱으로 분해되지 않는 라티스 게이지 이론에서 엔트로피를 일관적으로 정의할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 제안된 엔트로피 정의가 $Z_N$ 게이지 이론에서 강한 하위가역성과 같은 표준 성질을 만족하는가?
• RQ3 임의의 공간 차원에서 $Z_N$ 게이지 이론의 위상적 상태에 대한 엔트로피는 얼마인가?
• RQ4 특히 영역 간 경계에서의 게이지 고정은 엔트로피에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 기존 문헌에 제시된 다른 제안들과 비교해보면, 제안된 정의는 어떻게 다를까?

주요 결과

• $Z_N$ 게이지 이론에서 위상적 상태의 엔트로피는 정확히 $\log N$이며, 이는 유한한 비아벨 군의 경우와 일치한다.
• $Z_N$ 게이지 이론에서 제안된 정의는 강한 하위가역성과 엔트로피의 기타 표준 성질을 모두 만족한다.
• 유한한 비아벨 군 $G$의 게이지 이론에서 위상적 상태의 엔트로피는 $\log|G|$이며, 이는 $p(\pi) = (\dim V_\pi)^2 / |G|$로부터 유도된다.
• 영역 $V$에 대한 감소 밀도 행렬은 $\rho_V = \sum_\pi p(\pi)(\dim V_\pi)^{-2} \sum_{\alpha,\beta} (\sqrt{\dim V_\pi} |\pi_V^{\alpha\beta}\rangle)(\sqrt{\dim V_\pi} \langle\pi_V^{\beta\alpha}|)$ 로 주어지며, 이를 통해 명시적 계산이 가능하다.
• 엔트로피는 게이지 고정의 선택에 따라 달라지며, 이는 영역 간 경계에서의 게이지 고정이 물리적으로 비합리한 결과를 초래할 수 있음을 시사하며, 그러한 고정은 피해야 한다는 것을 의미한다.
• 확장된 힐버트 공간에서 유도된 복제 공식은 아벨 및 비아벨 이론 모두에서 엔트로피를 체계적으로 계산할 수 있도록 한다.