[論文レビュー] On the definition of spacetimes in Noncommutative Geometry, part II

Fabien Besnard|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2016

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、偶数次元で時空的向き付けがされたローレンツ型またはアンチローレンツ型スピン多様体の非可換一般化として、スペクトル時空を導入する。$C^*$-代数や優先的な時間的向き付け形式を固定しないでこれらの構造を定義することで、観測者変換によって関連づけられる複数の同型な$C^*$-構造を許容する。主な貢献は、有限グラフ上のスプリットディラック構造のような再構成不能なスペクトル時空の構成であり、これらはスペクトル三重体のウィック回転では得られないため、真正のローレンツ型非可換幾何学を提供する。

ABSTRACT

In this second part of the paper, we define spectral spacetimes, a noncommutative generalization of Lorentzian orientable spacetimes of even dimension with a spin structure. There are two main differences with spectral triples: the existence of time-orientation 1-forms and the non-existence of a distinguished C*-structure on the algebra. If a "reconstructibility condition" is met, different, yet isomorphic, C*-structures exist. We define a natural notion of stable causality for spectral spacetimes. We give an example of a commutative spectral spacetime which is a Wick rotated version of the spectral triple that must be used in order to recover the usual notion of distance on a finite graph through Connes' distance formula. We show that this spectral spacetime is stably causal iff the time-orientation form induces no cycle. We also provide a noncommutative example, the split Dirac structure, which we study in some details. This structure is defined thanks to a discrete spinor bundle on a finite graph, a discrete connection, and operators at the vertices playing the role of gamma matrices. We give necessary and sufficient conditions for the split Dirac structure to be a spectral spacetime. These includes the natural analogues of the properties defining a spin connection in the continuous case. However the split Dirac structure is not always reconstructible: we prove that this is the case exactly when there exists a parallel timelike vector field on the graph. Nonreconstructible split Dirac structures furnish examples of spectral spacetimes which are not Wick rotations of usual spectral triples, and are thus genuinely Lorentzian. Moreover we show that the Dirac operator of the split Dirac structure is related to a Lorentzian version of a discretization of the Dirac operator introduced earlier by Marcolli and van Suijlekom.

研究の動機と目的

• 偶数次元の時空的向き付けがされたローレンツ型／アンチローレンツ型スピン多様体の非可換一般化を定義すること。
• 非可換時空間モデルにおける標準的な$C^*$-構造の不在に対処し、観測者変換によって関連づけられる複数の同型な$C^*$-構造を許容すること。
• スペクトル時空に対して安定的因果性の概念を導入し、非可換因果性に関する先行研究と関連づけること。
• 離散的スピン接続と離散的スピンバンドルを用いた有限次元例の構成、特にスペクトル三重体の非可換一般化を含むこと。
• スペクトル時空が再構成可能であるための条件を特定し、再構成不能な場合がウィック回転では得られない真正のローレンツ型幾何学をもたらすことを示すこと。

提案手法

• ユニタリ代数、クレイン構造を備えたヒルベルト空間、および特定の代数的・スペクトル的条件を満たす自己共役作用素（ディラック作用素）を用いてスペクトル時空を定義する。
• 時間的向き付け1形式の非可換版を導入し、電荷共役作用素と反交換するが、正規化や代数と可換である必要はない。
• 複数の同型な$C^*$-構造が代数上存在する再構成可能性条件を実装し、観測者に起因する同型写像を導入する。
• 離散的スピンバンドル、離散接続、および頂点ごとのガンマ行列（作用素として）を用いて有限グラフ上にスプリットディラック構造を構成する。
• 正の重み付き有向グラフ上の標準的アンチローレンツ型スペクトル時空にウィック回転を適用し、有限グラフ上のコンネスの距離公式と関連づける。
• スペクトル時空への安定的因果性の概念を一般化し、それがグラフ上で時間的向き付け1形式がサイクルを誘導しないことと同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された$C^*$-代数を前提とせず、スピン構造および時空的向き付けを持つローレンツ型時空の非可換アナロジーをどのように定義できるか？
• RQ2 スペクトル時空が複数の同型な$C^*$-構造を許容する条件は何か？それらは観測者変換とどのように関係するか？
• RQ3 再構成不能なスペクトル時空は存在しうるのか？それらはローレンツ型の非可換幾何学にどのような意味を持つのか？
• RQ4 スペクトル時空における安定的因果性は、グラフ上での時間的向き付け1形式がサイクルを誘導しないこととどのように関係するか？
• RQ5 スプリットディラック構造は、ローレンツ型文脈におけるディラック作用素の離散化をどの程度一般化するのか？

主な発見

• 正の重み付き有向グラフ上の標準的アンチローレンツ型スペクトル時空は、そのグラフの向きが無閉路である（無サイクルである）場合に限り、安定的因果的である。
• スプリットディラック構造がスペクトル時空であるための必要十分条件は、連続的な状況におけるスピン接続が満たす性質の自然なアナロジーを満たすことである。
• スプリットディラック構造が再構成可能であるための必要十分条件は、グラフ上に平行（共変的に一定な）時間的ベクトル場が存在することである。
• 再構成不能なスプリットディラック構造は、いかなるスペクトル三重体のウィック回転でも得られないため、真正のローレンツ型非可換幾何学を表す。
• スプリットディラック構造のディラック作用素は、マルコリとヴァン・ゾイレコムが導入したローレンツ型離散化ディラック作用素と関係している。
• 複素数平面$\mathbb{C}^2$上で定義されたスペクトル時空は、0次元のスペクトル三重体のウィック回転であるが、6次元のスペクトル三重体はウィック回転できないため、標準的なスペクトル三重体とは明確な違いを示す。