[論文レビュー] On the deformation theory of pair (X, E)

Si Li|ArXiv.org|Sep 2, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$X$ が滑らかで射影的スキームであり、$E$ が完全複体であるような対 $(X, E)$ に対して、Illusie のアティヤ類および Huybrechts と Thomas の相対的障害理論を用いて、絶対的変形・障害理論を構築する。主な貢献は、$E$、対 $(X,E)$、$X$ の変形空間が、俋層の導来圏における正確な三角形を通じて関連づけられ、ベクトルバンドルの既知の結果を一般化することである。

ABSTRACT

Huybrechts and Thomas recently constructed relative obstruction theory of objects of the derived category of coherent sheaves over smooth projective family. In this paper, we use this construction to obtain the absolute deformation-obstruction theory of the pair (X, E), with X smooth projective scheme and E perfect complex, and show that the obstruction theories for E, (X,E), and X fit into exact triangle as derived objects on the moduli space.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的スキーム $X$ および完全複体 $E$ に対して、対 $(X, E)$ の絶対的変形・障害理論を構築すること。
• Illusie のアティヤ類を用いて、Huybrechts と Thomas の相対的障害理論を絶対的ケースに拡張すること。
• $E$、対 $(X,E)$、$X$ の変形理論が、$X$ 上の coherent sheaves の導来圏における正確な三角形によって関連することを示すこと。
• 最初の順序微分作用素を用いて $G$ の複体を明示的に記述することで、ベクトルバンドルに対する既知の結果を回復すること。

提案手法

• Illusie のアティヤ類 $A(E) \in \mathrm{Ext}^1_X(E, E \otimes L^\bullet_X)$ を用いて、導来圏内での写像 $R\mathcal{H}om(E,E)[-1] \to \Omega_X$ を定義する。
• この写像のマッピングコーン $G$ を構成し、これにより対 $(X,E)$ の変形理論が制御されることを示す。
• $(X,E)$ の変形の接空間を $\mathrm{Ext}^1_X(G, \mathcal{O}_X)$ と特定し、障害空間を $\mathrm{Ext}^2_X(G, \mathcal{O}_X)$ とする。
• 正確な三角形 $R\mathcal{H}om(E,E)[-1] \to \Omega_X \to G \to R\mathcal{H}om(E,E)$ を確立し、これにより $E$、$(X,E)$、$X$ の変形函手を結ぶ長完全系列が得られることを示す。
• $E$ がベクトルバンドルの場合、$G$ が最初の順序微分作用素の層 $D(E)$ に擬同型であることを示し、古典的結果を回復する。
• ヴェルディエ双対性および導来押し出しを用いて、障害理論を相対的モジュライ空間に関連づけ、普遍族を用いて構成を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X$ が滑らかで射影的であり、$E$ が完全複体であるとき、対 $(X, E)$ の絶対的変形理論はどのように構築できるか？
• RQ2 導来圏の観点から、$E$、対 $(X,E)$、$X$ の変形理論の間の正確な関係は何か？
• RQ3 Huybrechts と Thomas の相対的障害理論は、対 $(X,E)$ の絶対的障害理論に拡張可能か？
• RQ4 $E$ のアティヤ類は、対 $(X,E)$ の変形の障害をどのように符号化しているか？
• RQ5 導来正確三角形の構成は、例えば接空間が $H^1(X, D(E))$ となるようなベクトルバンドルに対する既知の結果を回復するか？

主な発見

• 対 $(X,E)$ の変形理論は、アティヤ類写像 $R\mathcal{H}om(E,E)[-1] \to \Omega_X$ の導来マッピングコーン $G$ によって支配され、接空間が $\mathrm{Ext}^1_X(G, \mathcal{O}_X)$、障害空間が $\mathrm{Ext}^2_X(G, \mathcal{O}_X)$ である。
• 正確な三角形 $R\mathcal{H}om(E,E)[-1] \to \Omega_X \to G \to R\mathcal{H}om(E,E)$ は、$E$、$(X,E)$、$X$ の変形函手を結ぶ長完全系列を誘導する。
• $E$ がベクトルバンドルの場合、複体 $G$ は最初の順序微分作用素の層 $D(E)$ に擬同型であり、接空間が $H^1(X, D(E))$、障害空間が $H^2(X, D(E))$ となる。これは古典的結果を回復する。
• この構成により、Huybrechts と Thomas の相対的障害理論が絶対的ケースに一般化され、対 $(X,E)$ のモジュライ空間に対する標準的な絶対障害理論が得られる。
• $E$、$(X,E)$、$X$ の変形函手の系列 $Def_E \to Def_{(X,E)} \to Def_X$ は、導来圏内の正確な三角形構造を反映する長完全系列を誘導する。
• この方法は完全複体に対して一貫しており、ベクトルバンドルに対する既知の結果を回復するため、フレームワークが強固で一般性を持つことが示された。