[論文レビュー] On the density function for the value-distribution of automorphic $L$-functions

Kohji Matsumoto, Yumiko Umegaki|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Γ₀(N) 上の原始形式に付随する自動形式L関数の値分布に上限測度が存在することを確立し、明示的に構成された密度関数 𝒟_σ(z, L_f) を用いて、この測度の積分表現を示した。これは、凸Euler積を超えるBohr-Jessen極限定理の拡張であり、自動形式L関数に対して新規のJessen-Wintner型不等式を導入した。

ABSTRACT

The Bohr-Jessen limit theorem is a probabilistic limit theorem on the value-distribution of the Riemann zeta-function in the critical strip. Moreover their limit measure can be written as an integral involving a certaindensity function. The existence of the limit measure is now known for a quite general class of zeta-functions, but the integral expression has been proved only for some special cases (such as Dedekind zeta-functions). In this paper we give an alternative proof of the existence of the limit measure for a general setting, and then prove the integral expression, with an explicitly constructed density function, for the case of automorphic L-functions attached to primitive forms with respect to congruence subgroups Gamma_0(N).

研究の動機と目的

• Bohr-Jessen極限定理を自動形式L関数へ一般化し、凸Euler積でない場合の上限測度の積分表現を拡張すること。
• Γ₀(N) 上の原始形式に付随する自動形式L関数に対して、上限測度 W_σ(R; L_f) の存在を確立すること。
• W_σ(R; L_f) = ∫_R 𝒟_σ(z, L_f) |dz| を満たす明示的密度関数 𝒟_σ(z, L_f) を構成すること。
• 従来の方法が凸性またはJessen-Wintner不等式に依存するという制限を克服し、自動形式設定に特化した新しい不等式を証明すること。

提案手法

• Matsumoto [11] の一般化された手法を用いて、凸性に依存しない方法で上限測度 W_σ(R; L_f) の存在を証明する。
• Euler積を有するゼータ関数の一般クラスを導入し、Matsumoto [12] の枠組みをこのクラスへ拡張する。
• 自動形式L関数に対して新しいJessen-Wintner型不等式（命題7.3）を確立し、これが積分表現の証明に中心的役割を果たす。
• 対数L関数に関連する平面上の曲線 Γ_n の接線の傾き角 Ξ(θ) を分析し、十分大きな n に対して単調増加であることを示す。
• q = e^{-2πt / n} を用いた漸近展開により、x(θ) および y(θ) の導関数を制御し、重要な推定式 Ξ'(θ) = 1 + (u_1² / v_1²) + O(q) を得る。
• 接線角の単調増加性を示すことで、曲線 Γ_n が凸であることを証明し、これにより自動形式の場合にもJessen-Wintner不等式が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bohr-Jessenの積分表現 W_σ(R; ζ) = ∫_R 𝒟_σ(z, ζ) |dz| を、自動形式L関数へ拡張できるか。
• RQ2 自動形式L関数の値分布に対して、明示的密度関数 𝒟_σ(z, L_f) を構成することは可能か。
• RQ3 Jessen-Wintner不等式を、Galois的でも凸でもないEuler積の設定、例えば自動形式L関数へ一般化できるか。
• RQ4 自動形式L関数の値分布上限測度は存在し、関連するEuler積が凸でない場合でも積分表現をもつのか。

主な発見

• すべての σ > 1/2 に対して上限測度 W_σ(R; L_f) が存在し、明示的に構成された密度関数 𝒟_σ(z, L_f) を用いて ∫_R 𝒟_σ(z, L_f) |dz| で与えられる。
• 本稿は、自動形式L関数に対して新たなJessen-Wintner型不等式（命題7.3）を証明した。この不等式は積分表現に不可欠であり、凸性に依存しない。
• 対数L関数に関連する曲線 Γ_n は、十分大きな n に対して凸である。これは、Ξ'(θ) = 1 + (u_1² / v_1²) + O(q) により、接線角 Ξ(θ) が単調増加であるためである。
• Ξ'(θ) の漸近的解析により、曲率の挙動が密度関数の存在を支持することが確認され、誤差項は q が小さいとき O(q) で制御される。
• 本手法により、Euler積が凸でない場合でも、凸性の代わりに新たな解析的不等式を導入することで、Bohr-Jessen理論を自動形式L関数へ成功裏に一般化した。