[論文レビュー] On the density function of the distribution of real algebraic numbers

Dzianis Kaliada|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、固定された次数 $ n \geq 2 $ の実代数的数の分布密度関数の存在および連続的微分可能性を確立し、密度関数の明示的公式を導出し、区間におけるこのような数の漸近的数え上げ公式を、鋭い誤差推定を伴って証明する。主な結果は、分布が一様でないことを示しており、一様性に関するベルニクの予想を反証する。

ABSTRACT

In this paper we study the distribution of the real algebraic numbers. Given an interval $I$, a positive integer $n$ and $Q>1$, define the counting function $Φ_n(Q;I)$ to be the number of algebraic numbers in $I$ of degree $n$ and height $\le Q$. Let $I_x = (-\infty,x]$. The distribution function is defined to be the limit (as $Q o\infty$) of $Φ_n(Q;I_x)$ divided by the total number of real algebraic numbers of degree $n$ and height $\le Q$. We prove that the distribution function exists and is continuously differentiable. We also give an explicit formula for its derivative (to be referred to as the distribution density) and establish an asymptotic formula for $Φ_n(Q;I)$ with upper and lower estimates for the error term in the asymptotic. These estimates are shown to be exact for $n \ge 3$. One consequence of the main theorem is the fact that the distribution of real algebraic numbers of degree $n \ge 2$ is non-uniform.

研究の動機と目的

• 次数 $ n \geq 2 $ の実代数的数の分布に関する長年の未解決問題、特にそれらが実直線上で一様に分布するか否かを解明すること。
• 高さと次数で順序付けられた実代数的数の極限分布関数の存在と滑らかさを確立すること。
• この分布の密度関数の明示的公式を導出し、数え上げ関数 $ \Phi_n(Q;I) $ の正確な漸近的推定を提供すること。
• 次数 $ n \geq 2 $ に対して分布が非一様であることを示し、ヴラディミール・イェゴロヴィチ・ベルニクによる一様性に関する予想を反証すること。

提案手法

• 区間 $ I $ に含まれ、次数 $ n $ で高さ $ \leq Q $ である実代数的数の個数として、数え上げ関数 $ \Phi_n(Q;I) $ を定義する。
• 極限 $ Q \to \infty $ における $ \Phi_n(Q;I_x)/\#\mathbb{A}_n(Q) $ の極限として分布関数を定義する。ここで $ I_x = (-\infty, x] $ である。
• この極限が存在し、かつその導関数が連続的微分可能であり、それが分布密度 $ \rho_n(x) $ に一致することを証明する。
• 実数空間 $ \mathbb{R}^{n+1} $ における $ L^2 $ ノルムとウェッジ体積を用いた幾何学的・解析的技法を用いて、密度関数の明示的公式を導出する。
• 誤差項の上界と下界を示した漸近的公式を確立し、$ n \geq 3 $ の場合にそれが鋭いことを示す。
• 高さと値の増加順に代数的数を順序付けた列を用いて、結果を断片的な列における累積数の観点から再定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $ n \geq 2 $ の実代数的数の分布は、実直線上で一様か？
• RQ2 与えられた区間 $ I $ において、次数 $ n $ で高さ $ \leq Q $ である実代数的数の個数の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 このような数の極限分布の密度関数に対して、閉形式の式を得ることは可能か？
• RQ4 漸近的数え上げ公式における誤差項の挙動はどのようにか？$ n \geq 3 $ の場合にそれらは鋭いか？

主な発見

• 次数 $ n \geq 2 $ の実代数的数の極限分布関数は存在し、連続的微分可能である。
• 分布密度関数の明示的公式が導出された：$ \phi_n(\|\cdot\|_2;x) = \frac{\pi^{\frac{n-1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n+3}{2}\right)} \sqrt{ \frac{1}{(x^2-1)^2} - \frac{(n+1)^2 x^{2n}}{(x^{2n+2}-1)^2} } $。
• 漸近的公式 $ \Phi_n(Q;I) $ の誤差項は $ O(Q^n (\ln Q)^{\ell(n)}) $ で有界であり、$ n \geq 3 $ の場合にそれが鋭い。
• 分布は $ n \geq 2 $ に対して非一様である。これは、ヴラディミール・イェゴロヴィチ・ベルニクによる一様性に関する予想を反証する。
• 高さ順に並べた列の観点から結果を再定式化した：$ \mathfrak{N}_n(N,I) = N \int_I \rho_n(x)\,dx + O\left(N^{\frac{n}{n+1}} (\ln N)^{\ell(n)}\right) $。
• 密度関数 $ \rho_n(x) $ は $ \phi_n(x) $ に比例し、その形は独立同一分布のガウス係数をもつ確率的多項式の実根の極限密度と一致する。