[論文レビュー] On the Dimensional Regularization of QCD Helicity Amplitudes With Quarks

F. R. Anger, V. Sotnikov|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2018

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、't Hooft-Veltmanおよび4次元ヘリシティ（FDH）スキームにおいて、4次元外部クォーク状態を高次元空間に埋め込むための体系的な規定を提示し、ループ運動量の次元 $D_s$ における解析的続行を可能にする。高次元スピンル成分の部分トレースによる埋め込みの平均化を通じて、不適切な被積分項を除去し、質量のあるクォークを含む1ループおよび2ループQCDヘリシティ振幅の効率的な数値計算を可能にする。これは、既知のヤン・ミルズ分解を、クォークを含む完全なQCDへと拡張するものである。

ABSTRACT

We study QCD helicity amplitudes with an arbitrary number of (massive) quarks, keeping unobserved (loop) particles in fixed integer $D_s$ dimensions. We find a suitable embedding of external four-dimensional fermion states into higher dimensional spaces. This allows to identify the $D_s$ dependence of amplitudes with external quarks at one and two loops, permitting an analytic continuation in $D_s$. Explicitly we focus on 't Hooft-Veltman and four-dimensional helicity schemes for which we provide a compact prescription for the computation of one- and two-loop amplitudes amenable for numerical implementation.

研究の動機と目的

• HVおよびFDHのような次元正則化スキームにおける4次元フェルミオン状態を高次元空間に埋め込む際の曖昧さを解消すること。
• 単一の埋め込みアプローチによって生じる、ループ運動量の縮約の平方根のような不適切な被積分項を、数値ループ振幅計算において系的に除去すること。
• 1ループおよび2ループQCD振幅を、質量のある外部クォークを含んで効率的に数値計算可能とするために、$D_s$ における完全な依存性を解析的に特定すること。
• 純粋なヤン・ミルズ理論からの粒子内容分解を、HVおよびFDHスキームにおける質量のあるクォークを含む完全なQCDへと拡張すること。
• 次元正則化の再構成において複数の整数 $D_s > 4$ 値をサンプリングするのではなく、最小の1つの $D_s$ 維度のみを必要とするため、計算コストを低減すること。

提案手法

• HVおよびFDHスキームを一様に扱うために、$D_s$ を未定義のままにし、解析的続行を可能にする。
• 整数次元 $D_s$ におけるクリフォード代数の明示的表現を用いて、外部クォークのスピンル構造を定義する。
• スピンル鎖の高次元成分におけるトレース平均化手順を導入し、埋め込みの曖昧さを解消し、不適切な項を抑制する。
• フェルミオン状態の二重コピー構成と修正されたプロパゲーターを用いて、$(D_s - 4)$ 次元のループ運動量挿入が偶数次であることを強制する。
• 4次元ガンマ行列と $ar{ ot{ ext{D}}}$-依存プロパゲーター（$ar{ ot{ ext{D}}} = ot{ ext{D}}_{[4]} + i ilde{ u} ilde{ ot{ ext{D}}}_{[4]}$、$D_s = 6$ 時）を用いて、FDH振幅の簡潔なファインマン規則を導出する。$D_s$ 依存性と整合性を保つ。
• FDHスキームにおける質量のあるクォークを含む物理的関連の1ループ振幅に対して、BlackHatライブラリの新バージョンに実装することで、本手法の妥当性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HVおよびFDHのような次元正則化スキームにおいて、4次元外部クォーク状態を高次元空間に一貫して埋め込む方法は何か？
• RQ2 外部フェルミオンを含む数値ループ計算において、不適切な被積分項が生じる原因は何か？そして、それらを体系的に除去する方法は？
• RQ3 質量のあるクォークを含む1ループおよび2ループQCDヘリシティ振幅の $D_s$ 依存性を解析的に特定し、数値計算に利用できるか？
• RQ4 複数の整数 $D_s > 4$ 値をサンプリングするのではなく、最小の1つの $D_s$ 維度のみを用いて、外部クォークを含むマルチループ振幅を計算可能か？
• RQ5 ゲージ不変性と正しさを保ちながら、$(D_s - 4)$ 次元のループ運動量挿入が偶数個であることを数値的に強制する方法は何か？

主な発見

• 部分トレースによる高次元スピンル成分の平均化に基づく提案された埋め込み規定は、単一の埋め込みアプローチによって生じるループ運動量の縮約の平方根のような不適切な被積分項を効果的に除去した。
• 本手法により、任意の数の質量のあるクォークを含む1ループおよび2ループQCD振幅について、$D_s$ における解析的続行が可能となり、既知のヤン・ミルズ分解が完全なQCDへと拡張された。
• 本アプローチにより、複数の整数 $D_s > 4$ をサンプリングするのではなく、最小の1つの $D_s$ 維度（例：$D_s = 6$）のみを必要とすることで、計算コストが低減され、表現次元の指数的増大を回避した。
• 質量のないクォークの場合、$ar{ ot{ ext{D}}}$-対称性により、$ ext{Tr}[ ext{odd}(ar{ ot{ ext{D}}})ar{ ot{ ext{D}}} \text{ with } \bar{ ot{ ext{D}}} = \not{\text{D}}_{[4]} + i\tilde{\nu}\tilde{\not{\text{D}}}_{[4]}]$ の下で $(D_s - 4)$ 挿入が自動的に偶数次になるため、標準的な4次元ガンマ行列が使用可能である。
• 本手法は、BlackHatライブラリへの実装を通じて妥当性が検証され、FDHスキームにおける質量のある外部クォークを含む1ループQCD振幅について、正確な数値予測が可能になった。
• 表1に示された導出されたファインマン規則は、$D_s$-依存プロパゲーターと偶数挿入数の強制を伴う、4次元オブジェクトを用いたFDH振幅の計算に向けた簡潔で数値的に効率的なフレームワークを提供する。