[論文レビュー] On the effective cone of $\mathbb{P}^n$ blown-up at $n+3$ points

Maria Chiara Brambilla, Olivia Dumitrescu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般位置に配置された $n+3$ 個の点における $\mathbb{P}^n$ の blown-up 上の除法子の有効的・可動的錐を計算し、有理正規曲線、その交差多様体、および関連する錐を基底局所の主要な成分として同定する。線型系が $n+3$ 個の一般点を持つとき、これら部分多様体が基底局所に含まれる場合に限り線型的に特別であることが示され、線型的障害を考慮した新たな期待次元公式が導入される。

ABSTRACT

We compute the facets of the effective and movable cones of divisors on the blow-up of $\mathbb{P}^n$ at $n+3$ points in general position. Given any linear system of hypersurfaces of $\mathbb{P}^n$ based at $n+3$ multiple points in general position, we prove that the secant varieties to the rational normal curve of degree $n$ passing through the points, as well as their joins with linear subspaces spanned by some of the points, are cycles of the base locus and we compute their multiplicity. We conjecture that a linear system with $n+3$ points is linearly special only if it contains such subvarieties in the base locus and we give a new formula for the expected dimension.

研究の動機と目的

• 一般位置に配置された $n+3$ 個の点における $\mathbb{P}^n$ の blown-up 上の除法子の有効的・可動的錐の構造を特定すること。
• 一般の $n+3$ 個の基底点を持つ線型系の基底局所を特徴づけ、有理正規曲線やその交差多様体のような非線型部分多様体を基本的成分として同定すること。
• 線型系の特別性に起因する線型的障害を考慮した新たな期待次元公式、線型期待次元 $\operatorname{ldim}({\mathcal{L}})$ を提唱すること。
• 線型系が有理正規曲線またはその交差多様体を基底局所に含む場合にのみ線型的に特別であるという予想を検証すること。
• 低次元 ($n \leq 3$) および特定の同次線型系の族に対して予想を検証すること。

提案手法

• 基底局所補題 (補題 4.1) を用いて、一般の $n+3$ 個の点を通る次数 $n$ の有理正規曲線が線型系の基底局所の成分として同定される。
• クレモナ変換の理論を適用し、線型系の次元を簡約・解析する。特にクレモナ変換 $\operatorname{Cr}({\mathcal{L}})$ を用いる。
• 線型的サイクル（例：交差多様体）が期待次元に与える寄与を組み込む線型期待次元 $\operatorname{ldim}({\mathcal{L}})$ の概念を導入する。
• 退化技術と反復 blown-up における厳密なトランスフォームのコホロロジー的分類を用いて線型系を分析する。
• 帰納法と錐構成を用いて、$\mathcal{L}(t,a)$ や $\mathcal{L}(b)$ のような線型系族の結果を証明し、クレモナ同値性により既知の系と関連付ける。
• リーマン・ロッホおよび仮想次元の公式を適用して次元を計算し、新たな期待次元と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般位置に配置された $n+3$ 個の点における $\mathbb{P}^n$ の blown-up 上の除法子の有効的・可動的錐の facet は何か？
• RQ2 線型的サイクル以外のどの部分多様体が線型系を特別にするか？ そしてそれらは基底局所にどのように現れるか？
• RQ3 線型系が有理正規曲線またはその交差多様体を基底局所に含む場合にのみ線型的に特別であるという予想は真か？
• RQ4 新たな線型期待次元 $\operatorname{ldim}({\mathcal{L}})$ は、$n+3$ 個の基底点を持つ線型系の次元を正しく予測するか？
• RQ5 どの線型系族に対して線型特別性に関する予想が成り立ち、クレモナ簡約と帰納法によって証明可能か？

主な発見

• 一般位置に配置された $n+3$ 個の点における $\mathbb{P}^n$ の blown-up 上の除法子の有効的・可動的錐は完全に記述されており、facet は有理正規曲線およびその交差多様体の類に一致する。
• 任意の $n+3$ 個の一般基底点（重複度 $m_i$）を持つ線型系の基底局所には、点を通る次数 $n$ の有理正規曲線とその交差多様体が含まれ、重複度は $m_i$ に依存する。
• $n \leq 3$ の場合、線型系が有理正規曲線またはその交差多様体を基底局所に含む場合にのみ線型的に特別であるという予想は、リーマン・ロッホおよびクレモナ簡約により正当化される。
• 族 $\mathcal{L}(t,a) = \mathcal{L}_{2t,a(t+1)}((at)^{2t+3})$ は正確に一つの切断 $a\sigma_t$ を持ち、帰納法とクレモナ簡約により予想を満たす。
• $\mathcal{L}(b) = \mathcal{L}_{n,b(n+2)}((bn)^{n+3})$ は $n$ が偶数のとき次元 1 であり、$n$ が奇数のときは空であり、予想を満たす。
• $\mathcal{L}_{n,d}(n^{n+3})$ はすべての $n \geq 2$ および $d \geq 1$ に対して予想を満たし、次元は線型期待次元 $\operatorname{ldim}({\mathcal{L}})$ と一致する。