[論文レビュー] On the Egalitarian Weights of Nations

Sascha Kurz, Nicola Maaser+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2012

Game Theory and Voting Systems参考文献 80被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、異なる選挙区規模を有する二段階投票制度において、すべての市民が集団的意思決定に対して同等の事前影響を持つように、投票重みをどのように割り当てるかを調査する。選挙区内での好みが独立同分布（i.i.d.）である場合、平方根重み付けが均等な代表を実現することを示し、地域内での好みが強く関連している場合には、線形重み付けまたはシャープレー値に比例する重み付けがより公平であることを示す。

ABSTRACT

Voters from m disjoint constituencies (regions, federal states, etc.) are represented in an assembly which contains one delegate from each constituency and applies a weighted voting rule. All agents are assumed to have single-peaked preferences over an interval; each delegate's preferences match his constituency's median voter; and the collective decision equals the assembly's Condorcet winner. We characterize the asymptotic behavior of the probability of a given delegate determining the outcome (i.e., being the weighted median of medians) in order to address a contentious practical question: which voting weights w_1, ..., w_m ought to be selected if constituency sizes differ and all voters are to have a priori equal influence on collective decisions? It is shown that if ideal point distributions have identical median M and are suitably continuous, the probability for a given delegate i's ideal point λ_i being the Condorcet winner becomes asymptotically proportional to i's voting weight w_i times λ_i's density at M as $m o \infty$. Indirect representation of citizens is approximately egalitarian for weights proportional to the square root of constituency sizes if all individual ideal points are i.i.d. In contrast, weights that are linear in-- or, better, induce a Shapley value linear in-- size are egalitarian when preferences are sufficiently strongly affiliated within constituencies.

研究の動機と目的

• 異なる規模の選挙区から選出された代表者に投票重みをどのように割り当てるかという規範的問いに答えること。その目的は、すべての市民が集団的意思決定に対して同等の事前影響を持つようにすることである。
• 互いに排他的な選挙区から代表者が選出され、重み付けされた票で投票する二段階投票制度をモデル化すること。集団的意思決定は、会議の重み付き投票におけるコンドルセ勝者となる。
• さまざまな重み付け方式の下で、代表者の「ピボット確率」（つまり、その投票が結果を決定づける確率）の漸近的確率を分析すること。
• 間接的代表民主主義制度において、「一人の市民、一票」の平等主義的原則を満たす重み付けルールを同定すること。
• どのような条件下で、平方根重み付けまたは線形重み付けルールが、市民間の同等の投票力という観点からより公平な結果をもたらすかを特定すること。

提案手法

• m 個の選挙区を有する二段階投票制度をモデル化し、各選挙区は1人の代表者によって代表され、その理想点は選挙区内の好みの中央値であると仮定する。
• すべての有権者が政策区間上で単峰性のある好みを持つと仮定し、集団的意思決定は会議の重み付き票におけるコンドルセ勝者となる。
• m → ∞ の下で代表者の漸近的ピボット確率を分析し、この確率が w_i × f_i(M) に比例することを導出する。ここで f_i(M) は、代表者 i の理想点が全般的な中央値 M における密度を表す。
• 各代表者の理想点を λ_i = t·μ_i + ε_i とし、μ_i と ε_i がそれぞれ独立同分布に従う摂動モデルを用い、t → ∞ の極限を考察することで、理想点の順序付けが μ_i の順序付けに収束することを示す。
• シャープレー値フレームワークを適用し、選挙区内での好みの強い関連性がある場合、選挙区規模に比例する重み付け、またはシャープレー値に比例する重み付けが均等な結果をもたらすことを示す。
• 極値理論と分布収束を用いて、t → ∞ の下で、相対的ピボット確率がシャープレー値の比に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる規模の選挙区を有する二段階投票制度において、すべての市民が集団的意思決定に対して同等の事前影響を持つようにするための重み付けルールは何か？
• RQ2 代表者がピボット（つまり、コンドルセ勝者となる）となる漸近的確率は、その投票重みと、その理想点が全般的な中央値 M における密度にどのように依存するか？
• RQ3 どのような条件下で、平方根重み付けルールが二段階制度において均等な代表を実現するか？
• RQ4 どのような状況で、線形重み付けまたはシャープレー値に比例する重み付けルールが、市民間の同等の投票力を達成するためにより適切か？
• RQ5 選挙区内での好みの関連性の程度は、さまざまな重み付けルールの公平性にどのように影響するか？

主な発見

• 代表者 i の漸近的ピボット確率は、w_i × f_i(M) に比例する。ここで f_i(M) は、代表者 i の理想点が全般的な中央値 M における密度を表す。
• 個人の理想点が選挙区内で独立同分布（i.i.d.）である場合、投票重みの平方根重み付けにより、すべての市民がほぼ同等の影響を持つようになる。
• 好みが選挙区内で強く関連している場合、選挙区規模に比例する重み付け、またはシャープレー値に比例する重み付けが、均等な結果をもたらす。
• m → ∞ の下で、代表者 i と j の相対的ピボット確率は、それぞれのシャープレー値の比に収束する。ただし、理想点の順序付けが漸近的に μ_i 要因によって決定される場合に限る。
• 摂動モデルにおいて t → ∞ の下で、ピボット確率比 π_i / π_j は、φ_i(v)/φ_j(v)、すなわちシャープレー値の比に収束する。
• 理想点の順序付けが t → ∞ の下で μ_i の順序付けに確率1に近づいて収束するため、ピボット確率とシャープレー値の漸近的同等性が正当化される。