[論文レビュー] On the enumeration of labelled hypertrees and of labelled bipartite trees

Roland Bacher|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、マルチノミアル係数とスターリング数を用いた組合せ的恒等式を用いて、指定された頂点次数とハイパーエッジサイズを持つラベル付きハイパータリーおよび双対木の数を求める閉形式の公式を提示する。主な貢献は、ケーリーの公式を一般化し、第一種スターリング数を用いて重み付きハイパータリーへ拡張する統一的な数え上げ公式の確立である。

ABSTRACT

We give a simple formula for the number of hypertrees with $k$ hyperedges of given sizes and $n+1$ labelled vertices with prescribed degrees. A slight generalization of this formula counts labelled bipartite trees with prescribed degrees in each class of vertices.

研究の動機と目的

• 指定された頂点次数とハイパーエッジサイズを持つラベル付きハイパータリーの数に対する閉形式の公式を導出すること。
• ヒュズミの公式やエルデリューイ-エーテリンゲルの次数制約付き数え上げを含む、既存のラベル付き木およびハイパータリーに関する結果を一般化すること。
• ハイパータリーの数え上げと第一種および第二種スターリング数との関係を確立すること。
• 親子関係に基づく2つの語からなる新しい符号化を用いて、ラベル付き双対木の数え上げに対する双対的証明を構築すること。
• 次数列とマルチノミアル係数を用いた同一の組合せ的枠組みにおいて、ハイパータリーと双対木の数え上げを統一すること。

提案手法

• マルチノミアル係数と分割に基づく次数制約を用いて、ラベル付きハイパータリーの数の公式を導出する。式は $ inom{n}{oldsymbol{ u}} rac{1}{oldsymbol{ u}!} inom{k-1}{oldsymbol{ u}} $ で表され、ここで $ oldsymbol{ u} $ はサイズ分割における部品の重複度を数える。
• 母関数の定式化を導入する：$ rac{n!}{oldsymbol{ u}!} rac{(k-1)!}{oldsymbol{ u}!} rac{1}{oldsymbol{ u}!} $。これは対称関数を介して頂点次数とハイパーエッジサイズを結びつける。
• 根付き双対木森林における親関係を符号化する2つの語 $ (W, W') $ とラベル付き双対木との間の双対写像を確立する。頂点順序に基づく再帰的構成を用いる。
• プリューファー符号の類似を用いて、$ (n+1)^{n-1} $ と部分集合でインデックス付けされた積空間の和との間の一対一対応を定義し、和の累乗を含む組合せ的恒等式を導出する。
• 二項定理を適用して次数母関数を対称多項式恒等式に変換し、対称関数論を用いた数え上げを可能にする。
• 第一種スターリング数を用いて、ハイパータリーの重み付き数え上げを定義する。重みは $ ( ext{サイズ}-1)! $ の積であり、$ S_1(n,k) $ を含む符号付き恒等式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点数が $ n+1 $ 個で、指定された次数 $ 1+ u_i $ とハイパーエッジ数が $ k $ 個で、各ハイパーエッジサイズが $ 1+ u_j $ であるようなラベル付きハイパータリーの正確な数は何か？
• RQ2 ラベル付き双対木の数え上げを、組合せ的語符号化問題にどのように還元できるか？
• RQ3 ハイパータリーの数え上げと第一種および第二種スターリング数との関係は何か？
• RQ4 親符号語を用いた双対的証明を、ラベル付き双対木の数え上げに対して構築できるか？
• RQ5 母関数恒等式 $ (x_0 + dots + x_n)^{n-1} = ext{部分集合の和 } A ext{ について } (x_0 + ext{sum}_A x_j)^{n-1-|A|} ( ext{sum}_{ar{A}} x_j )^{|A|} $ を裏付ける対称的恒等式は何か？

主な発見

• 頂点数 $ n+1 $ 個で次数 $ 1+ u_i $、ハイパーエッジ数 $ k $ 個でサイズ $ 1+ u_j $ のラベル付きハイパータリーの数は、$ inom{n}{oldsymbol{ u}} rac{1}{oldsymbol{ u}!} inom{k-1}{oldsymbol{ u}} $ で与えられ、ここで $ oldsymbol{ u} $ はサイズの重複度を数える。
• 次数列の母関数は $ rac{n!}{oldsymbol{ u}!} rac{(k-1)!}{oldsymbol{ u}!} rac{1}{oldsymbol{ u}!} $ であり、これは $ inom{n}{oldsymbol{ u}} rac{1}{oldsymbol{ u}!} (x_0 + dots + x_n)^{k-1} $ に簡約され、ケーリーの公式を一般化する。
• ハイパーエッジ数 $ k $、頂点数 $ n+1 $ 個のラベル付きハイパータリーの数は $ (n+1)^{k-1} S_2(n,k) $ で与えられ、ここで $ S_2(n,k) $ は第二種スターリング数である。
• 重み付きハイパータリーの数え上げにより、$ (-1)^{n+k} (n+1)^{k-1} S_1(n,k) $ が得られ、ここで $ S_1(n,k) $ は絶対値をとった第一種スターリング数である。
• 根付き森林における親関係に基づく2つの語 $ (W, W') $ を用いたラベル付き双対木の双対的符号化により、語の積空間との一対一対応が確立される。
• この双対写像により、恒等式 $ (x_0 + dots + x_n)^{n-1} = ext{部分集合 } A ext{ についての和 } (x_0 + ext{sum}_A x_j)^{n-1-|A|} ( ext{sum}_{ar{A}} x_j )^{|A|} $ が得られ、これは $ (n+1)^{n-1} = ext{sum}_k inom{n}{k} (k+1)^{n-1-k} (n-k)^k $ に特殊化される。