[論文レビュー] On the equation N_{K/k}(\Xi)=P(t)

Dasheng Wei|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$K/k$ がアーベル拡大である場合に、$N_{K/k}(\bar{\Xi}) = P(t)$ で定義される多様体における有理点および1次ゼロサイクルのブラウアー＝マインン障害の理解を進める。未分岐ブラウアー群の計算、シュインツェルの仮説のもとでの有理点およびゼロサイクルに対するブラウジャー＝マインン障害が唯一の障害であることの証明、および従来の巡回的または特殊な場合に限られていた結果を一般のアーベル拡大および非ガロア的素数次拡大へと拡張する。

ABSTRACT

For varieties given by an equation N_{K/k}(\\Xi)=P(t), where N_{K/k} is the norm form attached to a field extension K/k and P(t) in k[t] is a polynomial, three topics have been investigated: (1) computation of the unramified Brauer group of such varieties over arbitrary fields; (2) rational points and Brauer-Manin obstruction over number fields (under Schinzel's hypothesis); (3) zero-cycles and Brauer-Manin obstruction over number fields. In this paper, we produce new results in each of three directions. We obtain quite general results under the assumption that K/k is abelian (as opposed to cyclic in earlier investigation).

研究の動機と目的

• 任意の体上、特に $K/k$ がアーベルの場合に、$N_{K/k}(\Xi) = P(t)$ で定義される多様体の未分岐ブラウアー群を計算すること。
• 数体上での有理点および弱近似へのブラウジャー＝マインン障害を、シュインツェルの仮説 (H) のもとで調査すること。
• 拡大 $K/k$ が非巡回的であるか、ファイバー上でハッセの原理が成り立たない場合にも、1次ゼロサイクルに対するブラウジャー＝マインン障害の結果を拡張すること。
• 巡回拡大や強いファイバー仮定を必要としていた従来の結果を、アーベル拡大および非ガロワ的素数次拡大に対し一般化すること。

提案手法

• アフィン多様体 $N_{K/k}(\Xi) = P(t)$ の滑らか部分の部分的コンパactification $X$ を用い、その滑らかコンパクト化 $X^c$ に対して $\mathrm{Br}(X^c)$ を計算する。
• Colliot-Thélène, Harari, Skorobogatov (2003) の $\mathrm{Br}(X)$ の公式を応用し、$\mathrm{Br}(X^c)$ を新たな状況で導出する。
• シュインツェルの仮説 (H) を用いて、有理点に関する条件付き結果をサルベージェルの装置により、1次ゼロサイクルに関する無条件結果に変換する。
• グローバルな再帰的法則と局所的不変量を用い、数体上のファイバーにおけるブラウジャー＝マインン障害の消滅を検証する。
• ガロワ理論的技法、特にガロワ閉包 $K^{\mathrm{cl}}$ とシローフェルマー群を用いて、$p$ と互いに素な次数の体拡大を構成する。
• ブラウアー双対の射影公式および基底変換を適用し、$V^c$ から $V^c_\Theta$ への障害の転送を実現し、$k$ への降下を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K/k$ がアーベルの場合に、$N_{K/k}(\Xi) = P(t)$ に対して未分岐ブラウアー群 $\mathrm{Br}_{ur}(X^c)$ が自明または計算可能となる条件は何か？
• RQ2 $K/k$ がアーベルでシュインツェルの仮説が成り立つとき、$N_{K/k}(\Xi) = P(t)$ の滑らかかつコンパクトなモデルにおける有理点および弱近似へのブラウジャー＝マインン障害が唯一の障害であるか？
• RQ3 $K/k$ が非ガロワ的素数次拡大である場合に、$V^c$ における1次ゼロサイクルの存在に対するブラウジャー＝マインン障害が唯一の障害であることを示せるか？
• RQ4 $K/k$ がアーベルで $P(t)$ が既約であるとき、ブラウアー群の商 $\mathrm{Br}(X)/\mathrm{Br}(X^c)$ の構造はどのように振る舞うか？
• RQ5 巡回拡大やファイバー単位のハッセの原理の仮定を越えて、結果をどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• $P(t)$ が既約で $K/k$ が一般の場合、$\mathrm{Br}(X^c) = \mathrm{Br}_0(X^c)$ であり、未分岐ブラウアー群が自明であることを意味する。
• $K/k$ がアーベルで $P(t)$ が既約の場合、商 $\mathrm{Br}(X)/\mathrm{Br}(X^c)$ は2 torsion であり、しばしば自明である。これはブラウアー群の構造が制御可能であることを示唆する。
• $K/k$ がガロワで $P(t)$ のすべての根が $k$ に属するとき、$\mathrm{Br}(X^c)/\mathrm{Br}_0(X^c)$ の公式を確立し、[8] で提起された問いに答えを提示する。
• シュインツェルの仮説 (H) のもとで、$K/k$ がアーベルで特定の非巡回的素数次拡大の場合、$N_{K/k}(\Xi) = P(t)$ の滑らかかつコンパクトなモデルにおける有理点および弱近似へのブラウジャー＝マインン障害が唯一の障害である。
• 非ガロワ的素数次拡大の場合、ブラウジャー＝マインン障害が存在しないならば、$k$ 上に1次ゼロサイクルが存在する。これはファイバー上でハッセの原理が成り立たない場合でも成り立つ。
• $p$ と互いに素な次数の体 $F/k$ を、$V^c(F) \neq \emptyset$ となるように構成することで、1次ゼロサイクルの存在を保証する。この構成にはガロワ閉包とシローフェルマー群が利用される。