[論文レビュー] On the Existence and Temperedness of Cusp Forms for SL(3,Z)

Stephen D. Miller|ArXiv.org|Jun 8, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、セリンブのトレース公式における技術的障害を避けるために、新規の部分トレース公式を用いて、$SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R})$ 上の離散ラプラシアン固有値スペクトルにおけるウェイル漸近法則を確立する。これは、無限遠点におけるほとんどすべての尖点形式が温度的であることを証明し、非上昇・非自己双対な尖点形式の存在を確認し、サルナックの尖点スペクトルの漸近的挙動に関する予想を解決する。

ABSTRACT

We develop a partial trace formula which circumvents some technical difficulties in computing the Selberg trace formula for the quotient $SL_3({\Z})\backslash SL_3({\R})/SO_3({\R})$. As applications, we establish the Weyl asymptotic law for the discrete Laplace spectrum and prove that almost all of its cusp forms are tempered at infinity. The technique shows there are non-lifted cusp forms on $SL_3({\Z})\backslash SL_3({\R})/SO_3({\R})$ as well as non-self-dual ones. A self-contained description of our proof for $SL_2({\Z})\backslash \U$ is included to convey the main new ideas. Heavy use is made of truncation and the Maass-Selberg relations.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな商 $SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R})$ における離散ラプラシアン固有値スペクトルのウェイル漸近法則を確立すること。この空間ではスペクトルの分離が極めて非自明である。
• この空間上のほとんどすべての離散スペクトル固有関数（尖点形式）が無限遠点で温度的であることを証明すること。これはラングランズプログラムにおいて重要な性質である。
• $SL_2(\mathbb{Z})$ マース形式のゲルバール＝ジャケット上昇によって生じるものの外に、$SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R})$ 上に非上昇尖点形式が存在することを示すこと。
• 高ランクにおけるセリンブのトレース公式の技術的困難、特にイーゼンスタイン級数と切断処理の取り扱いを回避する新しい部分トレース公式を開発・適用すること。

提案手法

• 切断とマース＝セリンブ関係を用いた部分トレース公式を構築し、連続スペクトルから離散スペクトルを分離する。
• 不変微分作用素の共同スペクトルに局所化する関数 $\hat{g}_{t\Sigma}(\lambda)$ を用いた、新規のスペクトルカット技術を適用する。
• リーマンゼータ関数および $L$-関数の関数等式と凸性評価を用いて、イーゼンスタイン級数およびその留数の成長を制御する。
• 関数 $R(s)$ 及びその性質を用いてスペクトル密度を分析し、$L^2$-ノルムに関する境界を導出する。
• 基本領域上でのイーゼンスタイン級数の $L^2$-ノルムにおける多項式的成長境界を確立する。特に、最大パラボリックイーゼンスタイン級数については、$SL_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}$ 上での和を用いた特別な取り扱いを行う。
• $SL_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}$ のウェイル法を基準事例として用い、高ランク解析の根拠とし、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サルナックが予想したように、$SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R})$ 上のラプラシアンの尖点スペクトルに対してウェイル法則が成り立つか？
• RQ2 $SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R})$ 上のほとんどすべての尖点形式が無限遠点で温度的か？
• RQ3 非上昇尖点形式は、$SL_2(\mathbb{Z})$ マース形式から生じるものの外に、$SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R})$ 上に存在するか？
• RQ4 高ランクにおいて、完全なセリンブのトレース公式の技術的落とし穴を避ける部分トレース公式を構築できるか？
• RQ5 この商上でのラプラシアンの離散固有値の個数の、$T$ 未満の正確な漸近的成長率は何か？

主な発見

• 尖点スペクトルにおけるウェイル法則が成立する：$T \to \infty$ のとき、$N(T) \sim \frac{\mathrm{vol}(SL_3(\mathbb{Z})\backslash\mathcal{H})}{\Gamma(7/2)} \left(\frac{T}{4\pi}\right)^{5/2}$ が成り立ち、サルナックの予想を確認する。
• $SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R})$ 上のほとんどすべての尖点形式が無限遠点で温度的であることが、イーゼンスタイン級数の $L^2$-ノルムの境界とスペクトル局在化によって示された。
• 非上昇尖点形式が $SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R})$ 上に存在し、スペクトルには非自己双対な形式も含まれることを、共同スペクトル解析によって示した。
• イーゼンスタイン級数の寄与を境界化することで、離散スペクトルを効果的に分離できた。$\int_{\mathcal{F}_C} \mathrm{Eis}_{g_{t\Sigma}}(x,x)\,dx = o\left(\int_{t\Sigma} \beta(\lambda)\,d\lambda\right)$ が成り立ち、これがウェイル法則を示唆する。
• 切断されたイーゼンスタイン級数の $L^2$-ノルムは任意の多項式より遅く成長し、最大パラボリック寄与は $O_\epsilon(\|\lambda\|^{1+\epsilon})$ で有界である。これによりスペクトルの分離が可能になった。
• 証明により、$R(\frac{1}{2}+it) \ll 1$、$|R(-\frac{1}{2}+it)R(\frac{1}{2}+it)| = 1$、および $\frac{d}{d\epsilon}\left.\frac{Z(\frac{3}{2}+it+\epsilon)}{Z(\frac{3}{2}+it-\epsilon)}\right|_{\epsilon=0} = O(\log t)$ が成り立つことが示され、スペクトル境界の評価に不可欠である。