[論文レビュー] On the existence of a proper minimal surface in $R^3$ with the conformal type of a disk

Santiago Morales|ArXiv.org|Jan 13, 2003

Analytic and geometric function theory参考文献 3被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、ミークスとサリヴァンの予想に対して反例を構成する。それは、ℝ³ へのコンformal で proper な minimal immersion としての単位円板の存在を示し、有限な genus と非パラボリックな conformal 型を有するにもかかわらず、そのような表面が complete であり、proper に埋め込まれうることを示している。この構成は、境界を無限に押し出す逐次的な minimal immersions の系列に依拠しており、norm の成長を制御し、properness を保証するための鍵となる補題を用いる。この補題は、境界付近での表面の変更を通じて、Runge の定理と López-Ros 変換を応用して、norm の増大を制御する。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to show a counterexample to the following conjecture: {\bf Conjecture} [Meeks, Sullivan]: If $f:M o \mathbb{R}^3$ is a complete proper minimal immersion where $M$ is a Riemannian surface without boundary and with finite genus, then $M$ is parabolic. We have proved: {\bf Theorem:} There exists $χ: D\longrightarrow \mathbb{R}^3$, a conformal proper minimal immersion defined on the unit disk.

研究の動機と目的

• ℝ³ に有限な genus を持つ complete で properly に埋め込まれた minimal 表面が、必ずパラボリックでなければならないとする、ミークスとサリヴァンの予想を反証すること。
• 単位円板 𝔻 から ℝ³ への非パラボリックな conformal 構造を有する conformal で proper な minimal immersion を構成すること。
• finite genus が、proper minimal immersions の文脈において、パラボリシティを意味しないことを示すこと。
• 境界の修正を用いた逐次的構成法を提供し、極限において properness を達成すること。

提案手法

• 各段階で境界が一様に無限遠に押し出されるように、minimal immersions の逐次的系列を構成する。これにより、極限における properness が保証される。
• 重要な補題は、minimal 表面の境界付近で変更を加えることで、immersion の norm を増大させつつ、境界近傍での norm の大きさを制御する。
• minimal immersions を、正則関数とメルモーフィック関数の形で表すために、Weierstrass 表現を用いる。
• Runge の定理と López-Ros 変換を用いて、境界に沿った幾何的性質を制御し、norm が適切に増大するように保証する。
• 境界および内部における norm の成長を制御することで、極限の immersion が、conformal かつ minimal であり、かつ proper であることを保証する。
• 最終的な表面は、∂𝔻 に含まれる弧を含む任意の閉集合の像の凸包が ℝ³ 全体に一致するという性質を持つ。これは、極めて複雑な幾何的性質を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ³ に、disk の conformal 型を有し、有限な genus を持つ complete で properly に埋め込まれた minimal 表面が存在するか。ただし、それはパラボリックではない。
• RQ2 単位円板の ℝ³ への proper minimal immersion を、境界の逐次的修正プロセスによって構成できるか。
• RQ3 minimal 表面を境界付近で変更することで、immersion の norm を増大させつつ、その近傍での norm を制御することは可能か。
• RQ4 このような構成の幾何的結果、特に像集合の凸包に関してはどのようなものか。
• RQ5 同じ技法を、ℝ³ の有界な領域に properly に埋め込まれた complete minimal 表面を構成するために適応できるか。

主な発見

• この論文は、conformal で proper な minimal immersion χ:𝔻→ℝ³ を構成し、ℝ³ に、disk の conformal 型を有する proper な minimal 表面の存在を証明した。
• 構成された表面は complete であり、有限な genus を有するが、ミークス＝サリヴァンの予想が示唆するようにパラボリックではない。これは、その予想を反証する。
• immersion は、境界が一様に無限遠に収束する minimal immersions の系列の極限として得られる。これにより、properness が保証される。
• 各逐次的段階で境界に沿った norm が増大するが、近傍では下から有界なままであり、極限が proper であることを保証する。
• 表面の幾何は極めて複雑である。∂𝔻 に含まれる弧を含む任意の閉集合の像の凸包は、ℝ³ 全体に一致する。
• 同様の手法を用いて、ℝ³ の球内に properly に埋め込まれた complete minimal 表面を構成することが可能であり、関連する結果で示されている。