[論文レビュー] On the existence of D-solutions of the steady-state Navier-Stokes equations in plane exterior domains

Antonio Russo|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、境界データの条件を緩和した場合に、外部リプシッツ領域における定常2次元ナビエ＝ストークス方程式のD解の存在を確立する。具体的には、境界データ $\boldsymbol{a} \in L^2(\partial\Omega)$ が $\left|\frac{1}{2\pi}\int_{\partial\Omega} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}\right| < 1$ を満たす場合、および $C^{1,1}$ 領域で $\boldsymbol{a} \in W^{-1/4,4}(\partial\Omega)$ である場合を想定する。さらに、速度および圧力の勾配に対する鋭い漸近的減衰推定を証明し、フラックスの消える条件が無限遠における速度の定数への収束を示す。

ABSTRACT

We prove that the steady--state Navier--Stokes problem in a plane Lipschitz domain $Ω$ exterior to a bounded and simply connected set has a $D$-solution provided the boundary datum $\a \in L^2(\partialΩ)$ satisfies ${1\over 2π}|\int_{\partialΩ}\a\cdot |&lt;1$. If $Ω$ is of class $C^{1,1}$, we can assume $\a\in W^{-1/4,4}(\partialΩ)$. Moreover, we show that for every $D$--solution $(\u,p)$ of the Navier--Stokes equations it holds $ abla p = o(r^{-1}), abla_k p = O(r^{ε-3/2}), abla_k\u = O(r^{ε-3/4})$, for all $k\in{\Bbb N}\setminus\{1\}$ and for all positive $ε$, and if the flux of $\u$ through a circumference surrounding $\complementΩ$ is zero, then there is a constant vector $\u_0$ such that $\u=\u_0+o(1)$.

研究の動機と目的

• 従来の知られていたものよりも弱い境界データの仮定の下で、外部リプシッツ領域における定常2次元ナビエ＝ストークス方程式のD解の存在を証明すること。
• 境界データの正則性が臨界的である $W^{-1/4,4}(\partial\Omega)$ の条件下で、$C^{1,1}$ 領域への存在結果の拡張。
• D解における速度および圧力の勾配の鋭い漸近的減衰推定を確立すること。
• 大きな円を囲む領域を通じたフラックスが消えるならば、無限遠における速度が定数ベクトルに収束することを示すこと。

提案手法

• J. レイレーの侵入領域法を用いて、有界領域における解の極限としてLeray解を構成する。
• 外部領域におけるストークス作用素の重み付き $L^2$ 評価および最大 $L^p$-正則性理論の応用。
• 非線形項を制御し $\kappa \leq 1$ を証明するために、関数 $\kappa = \sup_{\|\boldsymbol{\varphi}\|_{D^{1,2}}=1} \left| \int_{\mathbb{R}^2} (\log r) \, \text{div}(\boldsymbol{\varphi} \cdot \nabla \boldsymbol{\varphi}) \right|$ を用いる。
• 外部領域における補間および重み付きソボレフ埋め込みを用いて減衰推定を確立する。
• 無限遠におけるピクネの平均定理および対称性の議論を用いて、フラックスがゼロの下で速度の漸近的定数性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部リプシッツ領域における定常2次元ナビエ＝ストークス方程式のD解が存在するための境界データ $\boldsymbol{a}$ の条件は何か？
• RQ2 境界データの正則性を弱めた場合、例えば $\boldsymbol{a} \in W^{-1/4,4}(\partial\Omega)$ の下で、$C^{1,1}$ 領域への存在結果を拡張できるか？
• RQ3 D解における $\nabla p$ および $\nabla_k \boldsymbol{u}$ ($k \geq 2$) の正確な漸近的減衰率は何か？
• RQ4 速度 $\boldsymbol{u}$ が障害物を囲む大きな円を通じてフラックスが消えるならば、無限遠における $\boldsymbol{u}$ が定数ベクトルに収束するか？

主な発見

• 外部平面リプシッツ領域における定常2次元ナビエ＝ストークス方程式のD解は、$\boldsymbol{a} \in L^2(\partial\Omega)$ かつ $\left|\frac{1}{2\pi}\int_{\partial\Omega} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}\right| < 1$ の条件下で存在する。
• $C^{1,1}$ 領域では、境界データの正則性を弱めた $\boldsymbol{a} \in W^{-1/4,4}(\partial\Omega)$ の仮定のもとでも、存在結果が成り立つ。
• 任意のD解に対して、$\nabla p = o(r^{-1})$ および $\nabla_k p = O(r^{\epsilon - 3/2})$, $\nabla_k \boldsymbol{u} = O(r^{\epsilon - 3/4})$ ($k \geq 2$, $\epsilon > 0$) が成り立つ。
• 障害物を囲む大きな円を通じた $\boldsymbol{u}$ のフラックスがゼロならば、ある定数ベクトル $\boldsymbol{u}_0$ に対して $\boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}_0 + o(1)$ が成り立つ。
• 本稿では $\kappa \leq 1$ を証明し、これにより従来の研究における小さな条件を改善し、$\boldsymbol{a}$ に対する仮定をより弱くできる。
• 結果は従来の漸近的推定を一般化・精緻化し、$D$-解の枠組みのもとで $\nabla_k p = o(1)$ および $\nabla_k \boldsymbol{u} = o(1)$ ($k \in \mathbb{N}$) が成り立つことを示している。