[論文レビュー] On the existence of distinct lengths zero-sum subsequences

Benjamin Girard|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限アーベルp群における短い正規列を特徴づけ、W. Gaoによる、異なる長さのゼロ和部分列の存在に関する予想を証明する。Alonの組合せ的零点定理およびAlon, Friedland, Kalaiの結果を応用することで、素数群におけるこのような部分列の存在を確立し、p群の広いクラスにその結果を拡張する。

ABSTRACT

In this note, we obtain a characterization of short normal sequences in a finite Abelian p-group, thus answering positively a conjecture of W. Gao for a variety of such groups. Our main result is deduced from a theorem of N. Alon, S. Friedland and G. Kalai, originally proved so as to study the existence of regular graphs in almost regular graphs. In the special case of elementary p-groups, Gao’s conjecture is solved using N. Alon’s Combinatorial Nullstellensatz.

研究の動機と目的

• 有限アーベルp群における異なる長さのゼロ和部分列の存在に関するW. Gaoの予想を解明すること。
• 特に素数群における有限アーベルp群における短い正規列を特徴づけること。
• このような群において、異なる長さのゼロ和部分列が必ず存在する条件を確立すること。
• Alonの組合せ的零点定理をアーベル群における加法的組合せ論の問題に応用する範囲を拡張すること。

提案手法

• Alon, Friedland, Kalaiによる、ほぼ正則グラフにおける正則部分グラフに関する定理を基盤的な道具として用いる。
• N. Alonの組合せ的零点定理を用いて、有限体上の多項式制約を分析する。
• ゼロ和部分列問題をZ/pZ上の多項式方程式系に翻訳する。
• 有限アーベルp群における列の構造的解析を用いて、異なる長さのゼロ和部分列が存在するための必要条件を同定する。
• 群の分解を介して問題を素数群に還元し、結果を一般のp群に持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限アーベルp群における短い正規列が、異なる長さのゼロ和部分列を含む条件は何か？
• RQ2 Gaoの予想が、すべての有限アーベルp群に対して成り立つか？
• RQ3 組合せ的零点定理は、異なる長さのゼロ和部分列の存在を示すために効果的に適用可能か？
• RQ4 p群における列のどのような構造的性質が、異なる長さの複数のゼロ和部分列の存在を保証するか？

主な発見

• W. Gaoの異なる長さのゼロ和部分列に関する予想は、広いクラスの有限アーベルp群において確認された。
• 素数群では、予想の条件のもとで、異なる長さのゼロ和部分列の存在が保証される。
• 組合せ的零点定理の応用により、素数群におけるこのような部分列の存在が明確に確立された。
• p群における短い正規列の特徴づけは、異なる長さのゼロ和部分列の存在を示す構造的基準を提供する。