[論文レビュー] On the existence of Fourier-Mukai kernels

Alice Rizzardo|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、滑らかで射影的な代数的多様体の有理整数層の導来圏間の完全関手が、仮想的なフーリエ＝ムカイ核のコホロジー層を計算する手法を確立する。もしこのような関手がフーリエ＝ムカイ変換に同型であるならば、それらの層は核のコホロジーと一致することを証明する。さらに、曲線の場合には、核のコホロジーが1つの次数に集中し、点に台を持つ場合に、明示的な同型を構成する。

ABSTRACT

A theorem by Orlov states that any equivalence between the bounded derived categories of coherent sheaves of two smooth projective varieties, X and Y, is isomorphic to a Fourier-Mukai transform with kernel in the bounded derived category of coherent sheaves of the product XxY. In the case of an exact functor which is not necessarily fully faithful, we compute some sheaves that play the role of the cohomology sheaves of the kernel, and that are isomorphic to the latter whenever an isomorphism to a Fourier-Mukai transform exists. We then exhibit a class of functors that are not full or faithful and still satisfy the above result.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的な代数的多様体の有理整数層の導来圏間の完全関手が、フーリエ＝ムカイ変換に同型であるための必要十分条件を同定すること。
• 仮想的な核が存在するならば、それらがもつコホロジー層を $X \times Y$ 上に計算すること。
• $X$ が滑らかで射影的な曲線である場合に、フーリエ＝ムカイ核の存在を構成的基準で与えること。
• 関手が局所自由層に作用する様子から、核のコホロジー層を明示的に計算できることを示すこと。
• 完全に忠実でない場合でも、関手がフーリエ＝ムカイ変換に同型である条件を確立すること。

提案手法

• 関手が局所自由層のねじれに作用する様子を用いて、仮想核のコホロジー層として $X \times Y$ 上の層 $\mathscr{Bla}^i$ を定義する。
• 十分大きな $n$ に対して、局所自由層 $\mathscr{E}$ に対して自然な写像 $\mathscr{H}^i(F(\mathscr{E}(n))) \to p_{2*}(\mathscr{Bla}^i \otimes p_1^*\mathscr{E}(n))$ を構成する。
• $p_1^*\mathcal{O}_X(1)$ が $Y$ 上で非常に豊富であることを利用して、十分大きな $n$ に対してこれらの写像が同型になることを保証する。
• 短完全系列 $0 \to \mathscr{E} \to \mathscr{E}(m)^{\oplus(d+1)} \to K_m \otimes \mathscr{E} \to 0$ を用いて、ねじれの間でのコホロジー層の関係を結ぶ。
• 得られる可換図式の図式引き手を用いて、適切な条件下で写像 $\mathscr{H}^i(F(\mathscr{E})) \to p_{2*}(\mathscr{Bla}^i \otimes p_1^*\mathscr{E})$ が同型であることを証明する。
• 特に $X$ が次元1のとき、$\mathscr{Bla}^i = 0$ ($i \neq M$) かつ $\mathscr{Bla}^M$ がスカイクラッパー層の直和であるならば、明示的な同型 $s: \Phi_{\mathscr{Bla}^M[-M]} \to F$ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全関手が導来圏上で作用する様子から、仮想的なフーリエ＝ムカイ核のコホロジー層を直接計算できるか？
• RQ2 完全に忠実でない場合でも、滑らかで射影的な代数的多様体の導来圏間の完全関手がフーリエ＝ムカイ変換に同型であるための条件は何か？
• RQ3 核のコホロジー層が1つの次数に集中し、点に台を持つ場合に、核を明示的に構成できるか？
• RQ4 核のコホロジーが、関手が局所自由層に作用する様子から計算された層 $\mathscr{Bla}^i$ と一致するか？
• RQ5 関手や多様体にどのような構造的条件が課されると、候補となる層 $\mathscr{Bla}^i$ が実際に核から生じるようになるか？

主な発見

• 任意の完全関手 $F: D^b_{\mathrm{Coh}}(X) \to D^b_{\mathrm{Coh}}(Y)$ に対して、$X \times Y$ 上に coherent 層 $\mathscr{Bla}^i$ が存在し、十分大きなすべての $n$ に対して $\mathscr{H}^i(F(\mathscr{E}(n))) \to p_{2*}(\mathscr{Bla}^i \otimes p_1^*\mathscr{E}(n))$ が同型である。
• もし $F \cong \Phi_E$ ならば、すべての $i$ に対して $\mathscr{H}^i(E) \cong \mathscr{Bla}^i$ が成り立つ。つまり、$\mathscr{Bla}^i$ は核のコホロジー層そのものである。
• もし $X$ が滑らかで射影的な曲線であり、$\mathscr{Bla}^i$ が $i = M$ を除いてすべて0で、$\mathscr{Bla}^M$ がスカイクラッパー層の直和であるならば、$F$ は核 $\mathscr{Bla}^M[-M]$ を持つフーリエ＝ムカイ変換に同型である。
• 同型 $s: \Phi_{\mathscr{Bla}^M[-M]} \to F$ は、関手がねじれ層に作用したときのコホロジーの図式引き手を用いて明示的に構成される。
• この構成は、短完全系列 $0 \to \mathscr{E} \to \mathscr{E}(m)^{\oplus(d+1)} \to K_m \otimes \mathscr{E} \to 0$ の存在に依存しており、ねじれ間のコホロジーを結ぶ。
• この結果により、$\dim X = 1$ のとき、与えられた条件下でカルタン＝アイレンバーグのスペクトル系列の類似が収束することが示される。